Самостоятельная работа 23 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
Чтобы сравнивать числа с концами данного промежутка, запишем их в четвертях числа \(\pi\).
1) Нули функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) — числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только число \(-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}\): число \(\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}\) больше правого конца, а число \(-\frac{3\pi}{2} = -\frac{6\pi}{4}\) меньше левого.
2) Область определения функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) не содержит чисел вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только число \(0\): число \(\pi = \frac{4\pi}{4}\) больше правого конца, а число \(-\pi = -\frac{4\pi}{4}\) меньше левого.
Ответ: 1) единственный нуль функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) на данном промежутке — число \(-\frac{\pi}{2}\); 2) области определения не принадлежит число \(0\).
1) Функция \(y = \mathrm{ctg}\,x\) убывает на промежутке \((0^\circ;\ 180^\circ)\), а \(44^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{ctg}\,44^\circ > \mathrm{ctg}\,45^\circ = 1\).
Функция \(y = \mathrm{tg}\,x\) возрастает на промежутке \((-90^\circ;\ 90^\circ)\), а \(44^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{tg}\,44^\circ < \mathrm{tg}\,45^\circ = 1\).
Значит, \(\mathrm{tg}\,44^\circ < 1 < \mathrm{ctg}\,44^\circ\), то есть \(\mathrm{ctg}\,44^\circ > \mathrm{tg}\,44^\circ\).
2) Тангенс возрастает и \(57^\circ < 60^\circ\), поэтому \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \mathrm{tg}\,60^\circ = \sqrt{3}\); котангенс убывает и \(29^\circ < 30^\circ\), поэтому \(\mathrm{ctg}\,29^\circ > \mathrm{ctg}\,30^\circ = \sqrt{3}\).
Значит, \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \sqrt{3} < \mathrm{ctg}\,29^\circ\), то есть \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \mathrm{ctg}\,29^\circ\).
3) Котангенс убывает и \(43^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{ctg}\,43^\circ > \mathrm{ctg}\,45^\circ = 1\).
Наибольшее значение функции \(y = \sin x\) равно \(1\), и принимает она его только в точках вида \(90^\circ + 360^\circ n\), \(n \in \mathbf{Z}\); число \(87^\circ\) такого вида не имеет, поэтому \(\sin 87^\circ < 1\).
Значит, \(\sin 87^\circ < 1 < \mathrm{ctg}\,43^\circ\), то есть \(\mathrm{ctg}\,43^\circ > \sin 87^\circ\).
Ответ: 1) \(\mathrm{ctg}\,44^\circ > \mathrm{tg}\,44^\circ\); 2) \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \mathrm{ctg}\,29^\circ\); 3) \(\mathrm{ctg}\,43^\circ > \sin 87^\circ\).
1) График строим из тангенсоиды тремя преобразованиями: параллельный перенос вдоль оси абсцисс влево на \(\frac{\pi}{4}\) единиц, растяжение от оси абсцисс в \(2\) раза, симметрия относительно оси абсцисс.
Функция не определена при \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); её главный период равен \(\pi\); нули — числа вида \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\). Из-за множителя \(-2\) каждая ветвь графика убывает, тогда как ветви тангенсоиды возрастают.
2) Функция чётная: при замене \(x\) на \(-x\) значение \(|x|\) не меняется, поэтому график достаточно построить при \(x > 0\), а затем отразить построенную часть симметрично относительно оси ординат.
При \(x > 0\) имеем \(y = \mathrm{ctg}\,2x\); график этой функции получается из котангенсоиды сжатием к оси ординат в \(2\) раза.
Функция не определена при \(2|x| = \pi n\), то есть при
\[x = \frac{\pi n}{2},\ n \in \mathbf{Z}.\]
В частности, точка \(x = 0\) области определения не принадлежит. Нули функции — числа вида \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\). Правая половина графика состоит из убывающих ветвей, левая — из возрастающих: она получена не переносом, а симметрией.
3) Котангенс определён при \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); такова и область определения данной функции. Раскроем модуль по знаку котангенса.
Если \(\mathrm{ctg}\,x \geqslant 0\), то \(|\mathrm{ctg}\,x| = \mathrm{ctg}\,x\) и \(y = 2\,\mathrm{ctg}\,x\); котангенс неотрицателен на промежутках вида \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\).
Если \(\mathrm{ctg}\,x < 0\), то \(|\mathrm{ctg}\,x| = -\mathrm{ctg}\,x\) и \(y = 0\); котангенс отрицателен на промежутках вида \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\).
Значит,
\[y = \begin{cases} 2\,\mathrm{ctg}\,x, \text{ если } \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n,\\ 0, \text{ если } \frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{cases}\]
График состоит из «удвоенных» ветвей котангенсоиды, которые вблизи прямых \(x = \pi n\) принимают сколь угодно большие значения и убывают до нуля в точках \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), и из отрезков оси абсцисс над промежутками \(\left[\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\): левый конец каждого такого отрезка залит, а правый выколот, потому что в точках \(x = \pi n\) функция не определена. Все значения функции неотрицательны.
Чтобы сравнивать числа с концами промежутка \(\left[-\frac{3\pi}{4};\ \frac{\pi}{4}\right]\), запишем их в четвертях числа \(\pi\).
1) Нули функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) — числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только число \(-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}\): число \(\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}\) больше правого конца, а число \(-\frac{3\pi}{2} = -\frac{6\pi}{4}\) меньше левого.
2) Область определения функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) не содержит чисел вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Данному промежутку принадлежит только число \(0\): число \(\pi = \frac{4\pi}{4}\) больше правого конца, а число \(-\pi = -\frac{4\pi}{4}\) меньше левого.
Ответ: 1) единственный нуль функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) на данном промежутке — число \(-\frac{\pi}{2}\); 2) области определения не принадлежит число \(0\).
1) Функция \(y = \mathrm{ctg}\,x\) убывает на промежутке \((0^\circ;\ 180^\circ)\), а \(44^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{ctg}\,44^\circ > \mathrm{ctg}\,45^\circ = 1\).
Функция \(y = \mathrm{tg}\,x\) возрастает на промежутке \((-90^\circ;\ 90^\circ)\), а \(44^\circ < 45^\circ\), поэтому \(\mathrm{tg}\,44^\circ < \mathrm{tg}\,45^\circ = 1\).
Значит, \(\mathrm{tg}\,44^\circ < 1 < \mathrm{ctg}\,44^\circ\), то есть \(\mathrm{ctg}\,44^\circ > \mathrm{tg}\,44^\circ\).
2) Так как тангенс возрастает и \(57^\circ < 60^\circ\), то \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \mathrm{tg}\,60^\circ = \sqrt{3}\). Так как котангенс убывает и \(29^\circ < 30^\circ\), то \(\mathrm{ctg}\,29^\circ > \mathrm{ctg}\,30^\circ = \sqrt{3}\).
Значит, \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \sqrt{3} < \mathrm{ctg}\,29^\circ\), то есть \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \mathrm{ctg}\,29^\circ\).
3) Так как котангенс убывает и \(43^\circ < 45^\circ\), то \(\mathrm{ctg}\,43^\circ > \mathrm{ctg}\,45^\circ = 1\).
Наибольшее значение функции \(y = \sin x\) равно \(1\), и принимает она его только в точках вида \(90^\circ + 360^\circ n\), \(n \in \mathbf{Z}\); число \(87^\circ\) такого вида не имеет, поэтому \(\sin 87^\circ < 1\).
Значит, \(\sin 87^\circ < 1 < \mathrm{ctg}\,43^\circ\), то есть \(\mathrm{ctg}\,43^\circ > \sin 87^\circ\).
Ответ: 1) \(\mathrm{ctg}\,44^\circ > \mathrm{tg}\,44^\circ\); 2) \(\mathrm{tg}\,57^\circ < \mathrm{ctg}\,29^\circ\); 3) \(\mathrm{ctg}\,43^\circ > \sin 87^\circ\).
1) График строим из тангенсоиды тремя преобразованиями: параллельный перенос вдоль оси абсцисс влево на \(\frac{\pi}{4}\) единиц даёт график функции \(y = \mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\); растяжение от оси абсцисс в \(2\) раза даёт график функции \(y = 2\,\mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\); симметрия относительно оси абсцисс даёт искомый график.
Функция не определена при \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); её главный период равен \(\pi\); нули — числа вида \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\). Из-за множителя \(-2\) каждая ветвь графика убывает, тогда как ветви тангенсоиды возрастают.
2) Функция чётная: при замене \(x\) на \(-x\) значение \(|x|\) не меняется. Поэтому график достаточно построить при \(x > 0\), а затем отразить построенную часть симметрично относительно оси ординат.
При \(x > 0\) имеем \(y = \mathrm{ctg}\,2x\); график этой функции получается из котангенсоиды сжатием к оси ординат в \(2\) раза.
Функция не определена при \(2|x| = \pi n\), то есть при
\[x = \frac{\pi n}{2},\ n \in \mathbf{Z}.\]
В частности, точка \(x = 0\) области определения не принадлежит. Нули функции — числа вида \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\). Правая половина графика состоит из убывающих ветвей, левая — из возрастающих: она получена не переносом, а симметрией.
3) Котангенс определён при \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); такова и область определения данной функции. Раскроем модуль по знаку котангенса.
Если \(\mathrm{ctg}\,x \geqslant 0\), то \(|\mathrm{ctg}\,x| = \mathrm{ctg}\,x\) и \(y = 2\,\mathrm{ctg}\,x\). Котангенс неотрицателен на промежутках вида \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right]\).
Если \(\mathrm{ctg}\,x < 0\), то \(|\mathrm{ctg}\,x| = -\mathrm{ctg}\,x\) и \(y = 0\). Котангенс отрицателен на промежутках вида \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\).
Значит,
\[y = \begin{cases} 2\,\mathrm{ctg}\,x, \text{ если } \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n,\\ 0, \text{ если } \frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{cases}\]
Искомый график состоит из «удвоенных» ветвей котангенсоиды, которые вблизи прямых \(x = \pi n\) принимают сколь угодно большие значения и убывают до нуля в точках \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), и из отрезков оси абсцисс над промежутками \(\left[\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\): левый конец каждого такого отрезка залит, а правый выколот, потому что в точках \(x = \pi n\) функция не определена. Все значения функции неотрицательны.
