Страница 63 номер 164, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6}\),
\(\left(\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}}\right)^{2} = \left(\sqrt{6}\right)^{2},\)
\(x + \sqrt{6x - 9} + 2\sqrt{\left(x + \sqrt{6x - 9}\right)\left(x - \sqrt{6x - 9}\right)} +\)
\(+ x - \sqrt{6x - 9} = 6,\)
\(x + \sqrt{x^{2} - \left(\sqrt{6x - 9}\right)^{2}} = 3, 6x - 9 \geqslant 0, x \geqslant \dfrac{3}{2}\)
\(x + \sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 3, x + \sqrt{(x - 3)^{2}} = 3, x + |x - 3| = 3.\)
\(|x - 3| = x - 3\) при \(x \geqslant 3\): \(x + x - 3 = 3\), \(2x = 6\), \(x = 3\).
\(|x - 3| = 3 - x\) при \(\frac{3}{2} \leqslant x < 3\): \(x + 3 - x = 3\), \(3 = 3\) – верно при любом таком \(x\).

Левая часть уравнения при \(x \geqslant \frac{3}{2}\) имеет смысл: \(x \geqslant \sqrt{6x - 9}\), так как \(x^{2} - (6x - 9) = (x - 3)^{2} \geqslant 0\). Обе части данного уравнения неотрицательны, поэтому при возведении в квадрат получено равносильное уравнение.

Проверка: \(\sqrt{3 + \sqrt{18 - 9}} + \sqrt{3 - \sqrt{18 - 9}} = \sqrt{6}\) – верно.

Ответ: \(\frac{3}{2} \leqslant x \leqslant 3\).

2) \(\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4\),
\(\left(\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}}\right)^{2} = 4^{2},\)
\(x + \sqrt{x + 11} + 2\sqrt{x^{2} - \left(\sqrt{x + 11}\right)^{2}} + x - \sqrt{x + 11} = 16,\)
\(x + \sqrt{x^{2} - \left(\sqrt{x + 11}\right)^{2}} = 8, x \geqslant -11\)
\(\sqrt{x^{2} - x - 11} = 8 - x\), \(8 - x \geqslant 0\), \(x \leqslant 8\),

следовательно, \(-11 \leqslant x \leqslant 8\)

\(\left(\sqrt{x^{2} - x - 11}\right)^{2} = (8 - x)^{2}, x^{2} - x - 11 = 64 - 16x + x^{2},\)
\(15x - 75 = 0, x = 5.\)

Проверка: \(\sqrt{5 + \sqrt{5 + 11}} + \sqrt{5 - \sqrt{5 + 11}} = 4\) – верно.

Ответ: \(x = 5\).