Страница 69 номер 174, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Решить неравенство: 1) \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3\); 2) \(\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}\).
1) \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} > x + 3\),
\(x^{2} - 3x + 2 \geqslant 0,\ x_{1{,}2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2},\ x_{1} = 2,\ x_{2} = 1.\)
Если \(x + 3 < 0\), т. е. \(x < -3\), то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, и неравенство верно при всех \(x\) из области определения: \(x < -3\).
Если \(x \geqslant -3\), то обе части неотрицательны:
\(\begin{cases} \left( \sqrt{x^{2} - 3x + 2} \right)^{2} > (x + 3)^{2} \\ x \leqslant 1 \text{ и } x \geqslant 2 \end{cases},\ \begin{cases} x^{2} - 3x + 2 > x^{2} + 6x + 9 \\ x \leqslant 1 \text{ и } x \geqslant 2 \end{cases},\)
\(\begin{cases} 9x < -7 \\ x \leqslant 1 \text{ и } x \geqslant 2 \end{cases},\ \begin{cases} x < -\frac{7}{9} \\ x \leqslant 1 \text{ и } x \geqslant 2 \\ x \geqslant -3 \end{cases},\ -3 \leqslant x < -\dfrac{7}{9}.\)
Вместе с \(x < -3\): \(x < -\frac{7}{9}\).
Ответ: \(x < -\frac{7}{9}\).
2) \(\sqrt{2x^{2} - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}\),
\(2x^{2} - 7x - 4 \geqslant 0,\ x_{1{,}2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4},\ x_{1} = 4,\ x_{2} = -\dfrac{1}{2}\)
Если \(-x - \frac{1}{4} < 0\), т. е. \(x > -\frac{1}{4}\), то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, и неравенство верно при всех \(x\) из области определения: \(x \geqslant 4\).
Если \(x \leqslant -\frac{1}{4}\), то обе части неотрицательны:
\(\begin{cases} \left( \sqrt{2x^{2} - 7x - 4} \right)^{2} > \left( -x - \frac{1}{4} \right)^{2} \\ x \leqslant -\frac{1}{2} \text{ и } x \geqslant 4 \end{cases},\)
\(\begin{cases} 2x^{2} - 7x - 4 > x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \\ x \leqslant -\frac{1}{2} \text{ и } x \geqslant 4 \end{cases},\)
\(\begin{cases} 16x^{2} - 120x - 65 > 0 \\ x \leqslant -\frac{1}{2} \text{ и } x \geqslant 4 \end{cases},\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{120 \pm \sqrt{14400 + 4160}}{32} = \dfrac{15 \pm \sqrt{225 + 65}}{4},\)
\(x_{1} = \dfrac{15 + \sqrt{290}}{4},\ x_{2} = \dfrac{15 - \sqrt{290}}{4}.\)
\(\begin{cases} x < \frac{15 - \sqrt{290}}{4} \text{ и } x > \frac{15 + \sqrt{290}}{4} \\ x \leqslant -\frac{1}{2} \text{ и } x \geqslant 4 \\ x \leqslant -\frac{1}{4} \end{cases},\ x < \dfrac{15 - \sqrt{290}}{4},\)
\(\frac{15 - \sqrt{290}}{4} < -\frac{1}{2}\), так как \(\sqrt{290} > 17\).
Вместе с \(x \geqslant 4\): \(x < \frac{15 - \sqrt{290}}{4}\) и \(x \geqslant 4\).
