Страница 58 номер 140, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Равносильны ли следующие неравенства: 1) \(2x - 1 \ge 2\) и \(2(x - 1) \ge 1\); 2) \((x - 1)(x + 2) < 0\) и \(x^2 + x < 2\); 3) \((x - 2)(x + 1) < 3x + 3\) и \(x - 2 < 3\); 4) \(x(x + 3) \ge 2x\) и \(x^2(x + 3) \ge 2x^2\)?
1) \(2x - 1 \geqslant 2\), \(2x \geqslant 3\), \(x \geqslant 1{,}5\)
\(2(x - 1) \geqslant 1\), \(2x \geqslant 3\), \(x \geqslant 1{,}5\). Неравенства равносильны.
2) \((x - 1)(x + 2) < 0\), методом интервалов:
\(x = 1\), \(x = -2\). При \(x = 0\), знак "\(-\)". Значит, \((x - 1)(x + 2) < 0\) при \(-2 < x < 1\).
\(x^{2} + x < 2\), \(x^{2} + x - 2 < 0\), решив уравнение \(x^{2} + x - 2 = 0\), получим \(x_{1{,}2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}\), \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -2\). Это парабола, ветви направлены вверх. Поэтому \(x^{2} + x - 2 < 0\) при \(-2 < x < 1\). Неравенства равносильны.
3) \((x - 2)(x + 1) < 3x + 3\),
\(x^{2} + x - 2x - 2 < 3x + 3\), \(x^{2} - 4x - 5 < 0\).
Решим уравнение \(x^{2} - 4x - 5 = 0\): \(x_{1{,}2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}\), \(x_{1} = 5\), \(x_{2} = -1\).
Это парабола, ветви направлены вверх.
Значит \(x^{2} - 4x - 5 < 0\) при \(-1 < x < 5\).
\(x - 2 < 3\), \(x < 5\). Неравенства не равносильны.
4) \(x(x + 3) \geqslant 2x\), \(x^{2} + 3x - 2x \geqslant 0\), \(x^{2} + x \geqslant 0\), \(x(x + 1) \geqslant 0\), \(x \geqslant 0\) и \(x \leqslant -1\).
\(x^{2}(x + 3) \geqslant 2x^{2}\), \(x^{2}(x + 3 - 2) \geqslant 0\). Т.к. \(x^{2} > 0\) при \(x \neq 0\), то \((x + 1)\) тоже должно быть \(\geqslant 0\), а \(x = 0\) – решение. Т.е. \(x \geqslant -1\). Неравенства не равносильны.
