Страница 71 номер 188, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sqrt{x + 4} - 3\sqrt[4]{x + 4} + 2 = 0\), \(x \geqslant -4\)
\(\left(\sqrt{x + 4} + 2\right)^{2} = \left(3\sqrt[4]{x + 4}\right)^{2}, x + 4 + 4\sqrt{x + 4} + 4 = 9\sqrt{x + 4},\)
\(x + 8 = 5\sqrt{x + 4}, x^{2} + 16x + 64 = 25x + 100, x^{2} - 9x - 36 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}, x_{1} = 12, x_{2} = -3;\)

2) \(\sqrt{x - 3} = 3\sqrt[4]{x - 3} + 4\), правая часть не меньше \(4\), значит, \(\sqrt{x - 3} \geqslant 4\): \(\begin{cases} x \geqslant 3 \\ \left(\sqrt{x - 3}\right)^{2} \geqslant 16 \end{cases}\), \(x \geqslant 19\)
\(x - 3 - 8\sqrt{x - 3} + 16 = 9\sqrt{x - 3}, x + 13 = 17\sqrt{x - 3},\)
\(x^{2} + 26x + 169 = 289x - 867, x^{2} - 263x + 1036 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \frac{263 \pm \sqrt{69169 - 4144}}{2}\), \(x_{1} = 4\) – не удовлетворяет условию \(x \geqslant 19\), \(x_{2} = 259\).

Ответ: \(x = 259\).

3) \(\sqrt[6]{1 - x} - 5\sqrt[3]{1 - x} = -6\), проведём замену: \(\sqrt[6]{1 - x} = z\), \(z \geqslant 0\)
\(z - 5z^{2} + 6 = 0\), \(5z^{2} - z - 6 = 0\), \(z_{1{,}2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{10}\),
\(z_{1} = 1{,}2\), \(z_{2} = -1\) – не удовлетворяет условию \(z \geqslant 0\).
\(\sqrt[6]{1 - x} = 1{,}2, 1 - x = 2{,}985984, x = -1{,}985984.\)

4) \(x^{2} + 3x + \sqrt{x^{2} + 3x} = 2\), проведём замену \(\sqrt{x^{2} + 3x} = z\), \(z \geqslant 0\)
\(z^{2} + z - 2 = 0\), \(z_{1{,}2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}\), \(z_{1} = 1\), \(z_{2} = -2\) – не удовлетворяет условию \(z \geqslant 0\).
\(\sqrt{x^{2} + 3x} = 1, x^{2} + 3x - 1 = 0, x_{1{,}2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}.\)

5) \(\frac{\sqrt{3 - x} + \sqrt{3 + x}}{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x}} = 2\), \(x \neq 0\).
\(\sqrt{3 - x} + \sqrt{3 + x} = 2\sqrt{3 - x} - 2\sqrt{3 + x}, 3\sqrt{3 + x} = \sqrt{3 - x},\)
\(27 + 9x = 3 - x, 10x = -24, x = -2{,}4.\)

6) \(\sqrt{x + 6 - 4\sqrt{x + 2}} + \sqrt{11 + x - 6\sqrt{x + 2}} = 1\), \(x \geqslant -2\)
\(\sqrt{x + 6 - 4\sqrt{x + 2}} = \sqrt{\left(\sqrt{x + 2} - 2\right)^{2}},\)
\(\sqrt{11 + x - 6\sqrt{x + 2}} = \sqrt{\left(\sqrt{x + 2} - 3\right)^{2}},\)
\(\left|\sqrt{x + 2} - 2\right| + \left|\sqrt{x + 2} - 3\right| = 1,\)

Если \(-2 \leqslant x < 2\), то равенство принимает вид

\(2 - \sqrt{x + 2} + 3 - \sqrt{x + 2} = 1\), \(4 = 2\sqrt{x + 2}\), \(2 = \sqrt{x + 2}\), \(x = 2\) – не удовлетворяет условию.

Если \(2 \leqslant x < 7\), то равенство принимает вид

\(\sqrt{x + 2} - 2 + 3 - \sqrt{x + 2} = 1\) – верно.

Если \(x \geqslant 7\), то равенство принимает вид

\(\sqrt{x + 2} - 2 + \sqrt{x + 2} - 3 = 1, 2\sqrt{x + 2} = 6, x = 7.\)

Объединяя, получим \(2 \leqslant x \leqslant 7\).