Страница 71 номер 187, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Решить уравнение (187—188). 1) \(\sqrt{x - 4} = \sqrt{x - 3} - \sqrt{2x - 1}\); 2) \(2\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x + 7} = \sqrt{x}\); 3) \(\sqrt{x - 3} = \sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 4}\); 4) \(\sqrt{9 - 2x} = 2\sqrt{4 - x} - \sqrt{1 - x}\).
1) \(\sqrt{x - 4} = \sqrt{x - 3} - \sqrt{2x - 1}\)
Левая часть неотрицательна, значит, и правая: \(\sqrt{x - 3} \geqslant \sqrt{2x - 1}\),
т. е. \(x - 3 \geqslant 2x - 1\).
С учётом области определения уравнения: \(\begin{cases} x \geqslant 4 \\ x \geqslant 3 \\ x \geqslant \frac{1}{2} \\ x - 3 \geqslant 2x - 1 \end{cases}\), \(\begin{cases} x \geqslant 4 \\ x \geqslant 3 \\ x \geqslant \frac{1}{2} \\ x \leqslant -2 \end{cases}\).
Корней нет.
2) \(2\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x + 7} = \sqrt{x}\)
Область определения уравнения: \(\begin{cases} x \geqslant -3 \\ x \geqslant 0 \\ x \geqslant -3{,}5 \end{cases}\), \(x \geqslant 0\).
\(\left(\sqrt{4x + 12}\right)^{2} = \left(\sqrt{x} + \sqrt{2x + 7}\right)^{2},\)
\(4x + 12 = x + 2\sqrt{2x^{2} + 7x} + 2x + 7,\)
\(x + 5 = 2\sqrt{2x^{2} + 7x}, x^{2} + 10x + 25 = 8x^{2} + 28x, 7x^{2} + 18x - 25 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \frac{-18 \pm \sqrt{324 + 700}}{14}\), \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -\frac{50}{14} = -3\frac{4}{7}\) – не удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = 1\).
3) \(\sqrt{x - 3} = \sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 4}\)
Левая часть неотрицательна, значит, и правая: \(\sqrt{2x + 1} \geqslant \sqrt{x + 4}\),
т. е. \(2x + 1 \geqslant x + 4\).
С учётом области определения уравнения: \(\begin{cases} x \geqslant 3 \\ x \geqslant -\frac{1}{2} \\ x \geqslant -4 \\ 2x + 1 \geqslant x + 4 \end{cases}\), \(\begin{cases} x \geqslant 3 \\ x \geqslant -\frac{1}{2} \\ x \geqslant -4 \\ x \geqslant 3 \end{cases}\).
\(x - 3 = 2x + 1 - 2\sqrt{2x^{2} + 9x + 4} + x + 4, x + 4 = \sqrt{2x^{2} + 9x + 4},\)
\(x^{2} + 8x + 16 = 2x^{2} + 9x + 4, x^{2} + x - 12 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}, x_{1} = 3,\)
\(x_{2} = -4\) – не удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = 3\).
4) \(\sqrt{9 - 2x} = 2\sqrt{4 - x} - \sqrt{1 - x}\)
Область определения уравнения: \(\begin{cases} x \leqslant 4{,}5 \\ x \leqslant 4 \\ x \leqslant 1 \end{cases}\), \(x \leqslant 1\).
\(9 - 2x = 16 - 4x - 4\sqrt{4 - 5x + x^{2}} + 1 - x, 8 - 3x = 4\sqrt{4 - 5x + x^{2}},\)
\(64 - 48x + 9x^{2} = 64 - 80x + 16x^{2}\), \(7x^{2} - 32x = 0\), \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{32}{7}\) – не удовлетворяет области определения.
Проверка: \(\sqrt{9 - 0} = 3\), \(2\sqrt{4 - 0} - \sqrt{1 - 0} = 3\) – верно.
Ответ: \(x = 0\).
