Страница 68 номер 171, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} < \sqrt{x - 1}\), при \(x \geqslant 1\) обе части неотрицательны (\(\sqrt{x + 1} > \sqrt{x}\)): \(\begin{cases} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right)^{2} < \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} \\ x \geqslant 1 \end{cases}\),
\(x + 1 - 2\sqrt{x^{2} + x} + x < x - 1, x + 2 < 2\sqrt{x^{2} + x},\)
\(x + 2 > 0\) при \(x \geqslant 1\), обе части положительны:
\((x + 2)^{2} < \left(2\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}, x^{2} + 4x + 4 < 4x^{2} + 4x, 3x^{2} > 4\)
\(\begin{cases} x^{2} > \frac{4}{3} \\ x \geqslant 1 \end{cases}, x > \dfrac{2}{\sqrt{3}};\)

2) \(\sqrt{x + 3} < \sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x}\),
\(\begin{cases} \left(\sqrt{x + 3}\right)^{2} < \left(\sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x}\right)^{2} \\ x + 3 \geqslant 0 \\ 7 - x \geqslant 0 \\ 10 - x \geqslant 0 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x + 3 < 7 - x + 2\sqrt{70 - 17x + x^{2}} + 10 - x \\ x \geqslant -3 \\ x \leqslant 7 \end{cases},\)
\(3x - 14 < 2\sqrt{70 - 17x + x^{2}},\)

Если \(3x - 14 < 0\), т. е. \(x < \frac{14}{3}\), то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, и неравенство верно при всех \(x\) из области определения: \(-3 \leqslant x < \frac{14}{3}\).

Если \(x \geqslant \frac{14}{3}\), то обе части неотрицательны:

\((3x - 14)^{2} < \left(2\sqrt{70 - 17x + x^{2}}\right)^{2},\)
\(9x^{2} - 84x + 196 < 280 - 68x + 4x^{2}, 5x^{2} - 16x - 84 < 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{16 \pm \sqrt{256 + 1680}}{10}, x_{1} = 6, x_{2} = -2{,}8\)
\(\begin{cases} -2{,}8 < x < 6 \\ x \geqslant -3 \\ x \leqslant 7 \\ x \geqslant \frac{14}{3} \end{cases}, \dfrac{14}{3} \leqslant x < 6.\)

Вместе с \(-3 \leqslant x < \frac{14}{3}\): \(-3 \leqslant x < 6\).