Страница 414 номер 1420, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Доказать неравенство (1418—1420). 1) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\); 2) \(2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c)\).
1) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geqslant 3\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\)
\(\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \right) \geqslant 1;\)
\(x = \frac{a}{b} > 0\), \(y = \frac{b}{c} > 0\), тогда \(\frac{c}{a} = \frac{1}{xy}\);
\(x + y \geqslant 2\sqrt{xy}\) – среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического;
\(t = \sqrt{xy} > 0\), тогда
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} - 3 = x + y + \dfrac{1}{xy} - 3 \geqslant 2t + \dfrac{1}{t^{2}} - 3,\)
\(2t + \dfrac{1}{t^{2}} - 3 = \dfrac{2t^{3} - 3t^{2} + 1}{t^{2}} = \dfrac{(t - 1)^{2}(2t + 1)}{t^{2}} \geqslant 0.\)
Следовательно, неравенство верно при заданных условиях.
2) \(2a^{2} + b^{2} + c^{2} \geqslant 2a(b + c)\)
\(a^{2} + b^{2} - 2ab + a^{2} + c^{2} - 2ac \geqslant 0,\)
\((a - b)^{2} + (a - c)^{2} \geqslant 0\) – верно при любых \(a,\ b,\ c\).
