Страница 414 номер 1418, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Доказать неравенство (1418—1420). 1) \(ab \le \frac{a^2 + b^2}{2}\); 2) \(\frac{a^3 + b^3}{2} > \left(\frac{a + b}{2}\right)^3\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \ne b\).
1) \(ab \leqslant \frac{a^{2} + b^{2}}{2}\)
\(a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab,\)
\(a^{2} - 2ab + b^{2} \geqslant 0,\)
\((a - b)^{2} \geqslant 0\) – выполняется всегда;
2) \(\frac{a^{3} + b^{3}}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^{3}\), если \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \neq b\)
\(\dfrac{a^{3} + b^{3}}{2} > \dfrac{a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}}{8},\)
\(\dfrac{4a^{3} + 4b^{3} - a^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2} - b^{3}}{8} > 0,\)
\(\dfrac{3a^{3} + 3b^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2}}{8} > 0,\)
\(a^{3} + b^{3} - ab(a + b) > 0,\)
\((a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} - ab \right) > 0,\)
\((a + b)(a - b)^{2} > 0\) – верно при заданных условиях.
