Страница 414 номер 1419, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Доказать неравенство (1418—1420). 1) \((a + b)(ab + 1) \ge 4ab\), если \(a > 0\), \(b > 0\); 2) \(a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)\), если \(a \ne b\).
1) \((a + b)(ab + 1) \geqslant 4ab\), если \(a > 0\), \(b > 0\)
\(ab = z, a = \dfrac{z}{b}\)
\(\left( \dfrac{z}{b} + b \right)(z + 1) \geqslant 4z,\)
\(\dfrac{\left( z + b^{2} \right)(z + 1) - 4zb}{b} \geqslant 0,\)
\(\dfrac{\left( z^{2} - 2bz + b^{2} \right) + z\left( 1 - 2b + b^{2} \right)}{b} \geqslant 0,\)
\(\dfrac{(z - b)^{2} + z(1 - b)^{2}}{b} \geqslant 0,\)
\(\frac{(ab - b)^{2} + ab(1 - b)^{2}}{b} \geqslant 0\) – верно при заданных условиях;
2) \(a^{4} + 6a^{2}b^{2} + b^{4} > 4ab\left( a^{2} + b^{2} \right)\), если \(a \neq b\)
\(\left( a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4} \right) + 4a^{2}b^{2} > 4ab\left( a^{2} + b^{2} \right),\)
\(\left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} + 4a^{2}b^{2} > 4ab\left( a^{2} + b^{2} \right),\)
\(\left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} - 4ab\left( a^{2} + b^{2} \right) + 4a^{2}b^{2} > 0,\)
\(\left( a^{2} + b^{2} - 2ab \right)^{2} > 0,\)
\((a - b)^{4} > 0\) – верно при заданном условии.
