Страница 413 номер 1406, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \({3{,}3}^{x^{2} + 6x} < 1\)
\({3{,}3}^{x^{2} + 6x} < {3{,}3}^{0},\)
\(x^{2} + 6x < 0,\)
\(x(x + 6) < 0,\)
\(x_{1} = 0, x_{2} = - 6;\)

Парабола, ветви направлены вверх;

\(- 6 < x < 0;\)

2) \(\left( \frac{1}{4} \right)^{x - x^{2}} > \frac{1}{2}\)
\(\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2x - 2x^{2}} > \dfrac{1}{2},\)
\(0 < \frac{1}{2} < 1\), функция \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{t}\) убывает, поэтому
\(2x - 2x^{2} < 1,\)
\(2x^{2} - 2x + 1 > 0,\)
\(D < 0, x \in R;\)

3) \({8{,}4}^{\frac{x - 3}{x^{2} + 6x + 11}} < 1\)
\(\dfrac{x - 3}{x^{2} + 6x + 11} < 0,\)
\(x^{2} + 6x + 11 > 0\) при любом \(x\), т.к. \(D < 0\);
\(x - 3 < 0,\)
\(x < 3;\)

4) \(2^{2x + 1} - 21 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2x + 3} + 2 \geqslant 0\)
\(2^{2x + 1} - \dfrac{21}{8} \cdot 2^{-2x} + 2 \geqslant 0,\)
\(2^{2x} = z, 2^{-2x} = \dfrac{1}{z}, z > 0\)
\(2z - \dfrac{21}{8z} + 2 \geqslant 0,\)
\(\dfrac{16z^{2} - 21 + 16z}{8z} \geqslant 0,\)
\(16z^{2} + 16z - 21 \geqslant 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{256 + 1344}}{32},\)
\(z_{1} = \frac{3}{4}\), \(z_{2} = - \frac{7}{4}\) – не подходит;
\(z \geqslant \dfrac{3}{4},\)
\(2^{2x} \geqslant \dfrac{3}{4},\)
\(2x \geqslant \log_{2}\dfrac{3}{4},\)
\(x \geqslant \dfrac{1}{2}\log_{2}\dfrac{3}{4};\)

5) \(3^{4 - 3x} - 35 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{2 - 3x} + 6 \geqslant 0\)
\(\dfrac{3^{4}}{3^{3x}} - \dfrac{35}{9} \cdot 3^{3x} + 6 \geqslant 0,\)
\(3^{3x} = z, z > 0, \dfrac{81}{z} - \dfrac{35}{9}z + 6 \geqslant 0,\)
\(\dfrac{81 \cdot 9 - 35z^{2} + 54z}{9z} \geqslant 0,\)
\(35z^{2} - 54z - 729 \leqslant 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{54 \pm \sqrt{2916 + 102060}}{70},\)
\(z_{1} = \frac{27}{5}\), \(z_{2} = - \frac{27}{7}\) – не подходит;
\(0 < 3^{3x} \leqslant \dfrac{27}{5},\)
\(3x \leqslant \log_{3}\dfrac{27}{5},\)
\(3x \leqslant 3 - \log_{3}5,\)
\(x \leqslant 1 - \dfrac{1}{3}\log_{3}5.\)