Страница 413 номер 1400, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(|2x - 3| < x\)
\(2x - 3 \geqslant 0: 2x - 3 < x\)
\(x < 3;\)

С учётом условия: \(\frac{3}{2} \leqslant x < 3\);

\(2x - 3 < 0: 3 - 2x < x\)
\(x > 1;\)

С учётом условия: \(1 < x < \frac{3}{2}\);

Ответ: \(1 < x < 3\);

2) \(|4 - x| > x\)
\(4 - x \geqslant 0: 4 - x > x\)
\(x < 2;\)
\(4 - x < 0: x - 4 > x\)

не выполняется ни при каком вещественном \(x\);

Ответ: \(x < 2\);

3) \(\left| x^{2} - 7x + 12 \right| \leqslant 6\)
\(x^{2} - 7x + 12 \geqslant 0: x^{2} - 7x + 12 \leqslant 6\)
\(x^{2} - 7x + 6 \leqslant 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2},\)
\(x_{1} = 6, x_{2} = 1;\)
\(x \in [ 1;\ 6];\)

С учётом условия: \(x \in [1;\ 3] \cup [4;\ 6]\);

\(x^{2} - 7x + 12 < 0: - x^{2} + 7x - 12 \leqslant 6\)
\(- x^{2} + 7x - 18 \leqslant 0,\)
\(D = 49 - 72 < 0,\)

Неравенство выполняется при любом \(x\).

С учётом условия: \(x \in (3;\ 4)\);

Ответ: \(1 \leqslant x \leqslant 6\);

4) \(\left| x^{2} - 3x - 4 \right| > 6\)
\(x^{2} - 3x - 4 \geqslant 0: x^{2} - 3x - 4 > 6\)
\(x^{2} - 3x - 10 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2},\)
\(x_{1} = 5, x_{2} = - 2\)
\(x \in (-\infty; - 2) \cup (5; + \infty);\)
\(x^{2} - 3x - 4 < 0: - x^{2} + 3x + 4 > 6\)
\(- x^{2} + 3x - 2 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2},\)
\(x_{1} = 2, x_{2} = 1\)
\(x \in (1;\ 2);\)

Ответ: \(x < - 2\), \(1 < x < 2\), \(x > 5\);

5) \(\left| 2x^{2} - x - 1 \right| \geqslant 5\)
\(2x^{2} - x - 1 \geqslant 0: 2x^{2} - x - 1 \geqslant 5\)
\(2x^{2} - x - 6 \geqslant 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4},\)
\(x_{1} = 2, x_{2} = - \dfrac{3}{2}\)
\(x \leqslant - \dfrac{3}{2}, x \geqslant 2;\)
\(2x^{2} - x - 1 < 0: - 2x^{2} + x + 1 \geqslant 5\)
\(2x^{2} - x + 4 \leqslant 0,\)
\(D = 1 - 32 < 0,\)

Решений нет;

Ответ: \(x \leqslant - \frac{3}{2}\), \(x \geqslant 2\);

6) \(\left| 3x^{2} - x - 4 \right| < 2\)
\(3x^{2} - x - 4 = 0, x_{1} = \dfrac{4}{3}, x_{2} = - 1;\)
\(3x^{2} - x - 4 \geqslant 0: 3x^{2} - x - 4 < 2\)
\(3x^{2} - x - 6 < 0\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{73}}{6},\)
\(\dfrac{1 - \sqrt{73}}{6} < x < \dfrac{1 + \sqrt{73}}{6};\)

С учётом условия: \(\frac{1 - \sqrt{73}}{6} < x \leqslant - 1\), \(\frac{4}{3} \leqslant x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}\);

\(3x^{2} - x - 4 < 0: - 3x^{2} + x + 4 < 2\)
\(3x^{2} - x - 2 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6},\)
\(x_{1} = 1, x_{2} = - \dfrac{2}{3}\)
\(x < - \dfrac{2}{3}, x > 1;\)

С учётом условия: \(- 1 < x < - \frac{2}{3}\), \(1 < x < \frac{4}{3}\);

Ответ: \(\frac{1 - \sqrt{73}}{6} < x < - \frac{2}{3}\), \(1 < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}\).