Страница 414 номер 1417, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. Страница 414. Номер 1417

Задание / условие:

Используя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключённые в промежутке \([-3\pi;\ \pi]\): 1) \(2\cos x - \sqrt{3} < 0\); 2) \(\sqrt{2}\sin x + 1 \ge 0\); 3) \(\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \le 0\); 4) \(3\operatorname{tg} x - 2 > 0\).

Решение:

1) \(2\cos x - \sqrt{3} < 0\)
\(\cos x < \dfrac{\sqrt{3}}{2},\)
\(y = \cos x\) – синий график;
\(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) – красный график;
\(x_{1} = \dfrac{\pi}{6}, x_{2} = - \dfrac{\pi}{6},\)
\(x_{3} = - \dfrac{11}{6}\pi, x_{4} = - \dfrac{13}{6}\pi;\)
\(x \in \left[-3\pi; - \dfrac{13}{6}\pi \right) \cup \left(-\dfrac{11}{6}\pi; - \dfrac{\pi}{6} \right) \cup\)
\(\cup \left( \dfrac{\pi}{6};\pi \right];\)

график

2) \(\sqrt{2}\sin x + 1 \geqslant 0\)
\(\sin x \geqslant - \dfrac{1}{\sqrt{2}},\)
\(y = \sin x\) – синий график;
\(y = - \frac{\sqrt{2}}{2}\) – красный график;
\(x_{1} = - \dfrac{11\pi}{4}, x_{2} = - \dfrac{9\pi}{4}, x_{3} = - \dfrac{3\pi}{4},\)
\(x_{4} = - \dfrac{\pi}{4};\)
\(x \in \left[-3\pi; - \dfrac{11\pi}{4} \right] \cup \left[-\dfrac{9\pi}{4}; - \dfrac{3\pi}{4} \right] \cup\)
\(\cup \left[-\dfrac{\pi}{4};\pi \right];\)

график

3) \(\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \leqslant 0\)
\(\operatorname{tg} x \leqslant - \sqrt{3},\)
\(y = \operatorname{tg} x\) – синий график;
\(y = - \sqrt{3}\) – красный график;
\(x_{1} = - \dfrac{\pi}{3}, x_{2} = \dfrac{2\pi}{3},\)
\(x_{3} = - \dfrac{4\pi}{3}, x_{4} = - \dfrac{7\pi}{3};\)
\(x \in \left(-\dfrac{5\pi}{2}; - \dfrac{7\pi}{3} \right] \cup \left(-\dfrac{3\pi}{2}; - \dfrac{4\pi}{3} \right] \cup\)
\(\cup \left(-\dfrac{\pi}{2}; - \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left( \dfrac{\pi}{2};\dfrac{2\pi}{3} \right];\)

график

4) \(3\operatorname{tg} x - 2 > 0\)
\(\operatorname{tg} x > \dfrac{2}{3},\)
\(y = \operatorname{tg} x\) – синий график;
\(y = \frac{2}{3}\) – красный график;
\(x_{1} = \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3}, x_{2} = \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} - \pi,\)
\(x_{3} = \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} - 2\pi, x_{4} = \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} - 3\pi;\)
\(x \in \left( \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} - 3\pi; - \dfrac{5\pi}{2} \right) \cup\)
\(\cup \left( \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} - 2\pi; - \dfrac{3\pi}{2} \right) \cup\)
\(\cup \left( \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3} - \pi; - \dfrac{\pi}{2} \right) \cup \left( \operatorname{arctg} \dfrac{2}{3};\dfrac{\pi}{2} \right).\)

график