Страница 413 номер 1412, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Решить неравенство (1400—1415). 1) \(\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x + 1}{x - 1}\right) \le 0\); 2) \(\log_{\frac{1}{3}}(\log_{4}(x^2 - 5)) > 0\).
1) \(\log_{\frac{1}{2}}\left( \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x + 1}{x - 1} \right) \leqslant 0\)
\(\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\left( \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x + 1}{x - 1} \right) \leqslant \log_{\frac{1}{2}}1 \\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x + 1}{x - 1} > 0 \\ \frac{3x + 1}{x - 1} > 0 \end{cases},\)
\(0 < \frac{1}{2} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} t\) убывает, поэтому
\(\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x + 1}{x - 1} \geqslant 1 \\ \frac{3x + 1}{x - 1} < 1 \\ \frac{3x + 1}{x - 1} > 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} \frac{3x + 1}{x - 1} \leqslant \frac{1}{2} \\ \frac{3x + 1}{x - 1} < 1 \\ \frac{3x + 1}{x - 1} > 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} - \frac{3}{5} \leqslant x < 1 \\ - 1 < x < 1 \\ x > 1,x < - \frac{1}{3} \end{cases},\)
\(x \in \left[-\dfrac{3}{5}; - \dfrac{1}{3} \right);\)
2) \(\log_{\frac{1}{3}}\left( \log_{4}\left( x^{2} - 5 \right) \right) > 0\)
\(0 < \frac{1}{3} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} t\) убывает, поэтому
\(\begin{cases} \log_{4}\left( x^{2} - 5 \right) < 1 \\ \log_{4}\left( x^{2} - 5 \right) > 0 \\ x^{2} - 5 > 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 \\ x^{2} - 5 > 1 \\ x^{2} - 5 > 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} (x - 3)(x + 3) < 0 \\ \left( x - \sqrt{6} \right)\left( x + \sqrt{6} \right) > 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} - 3 < x < 3 \\ x < - \sqrt{6},x > \sqrt{6} \end{cases},\)
\(x \in (-3; - \sqrt{6}) \cup \left( \sqrt{6};\ 3 \right).\)
