Страница 414 номер 1414, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(x^{1 + \lg x} < {0{,}1}^{-2}\)
\(x \cdot x^{\lg x} < 10^{2},\)

ОДЗ: \(x > 0\);

\(x < 1: \log_{x}{x^{1 + \lg x} > \log_{x}10^{2}},\)
\(1 + \lg x > \dfrac{2}{\lg x},\)
\(\dfrac{\lg x + \lg^{2}x - 2}{\lg x} > 0,\)
\(\dfrac{\left( \lg x - 1 \right)\left( \lg x + 2 \right)}{\lg x} > 0.\)

По правилу промежутков:

\(- 2 < \lg x < 0\) и \(\lg x > 1\),
\(0{,}01 < x < 1\) и \(x > 10\),
\(0{,}01 < x < 1;\)
\(x > 1: \log_{x}{x^{1 + \lg x} < \log_{x}10^{2}},\)
\(1 + \lg x < \dfrac{2}{\lg x},\)
\(\dfrac{\lg x + \lg^{2}x - 2}{\lg x} < 0,\)
\(\dfrac{\left( \lg x - 1 \right)\left( \lg x + 2 \right)}{\lg x} < 0.\)

По правилу промежутков:

\(\lg x < - 2\) и \(0 < \lg x < 1\),
\(x < \frac{1}{100}\) и \(1 < x < 10\),
\(1 < x < 10;\)

При \(x = 1\): \(1 < 100\) – верно, значит, \(x = 1\) также является решением.

\(x \in (0{,}01;\ 10);\)

2) \(\sqrt{x^{4\lg x}} < 10x\)

ОДЗ: \(x > 0\);

\(x > 1: \log_{x}x^{2\lg x} < \log_{x}{10x},\)
\(2\lg x < 1 + \dfrac{1}{\lg x},\)
\(\dfrac{2\lg^{2}x - \lg x - 1}{\lg x} < 0.\)

По правилу промежутков:

\(\lg x < - \frac{1}{2}\) и \(0 < \lg x < 1\),
\(x < \frac{1}{\sqrt{10}}\) и \(1 < x < 10\),
\(1 < x < 10;\)
\(0 < x < 1: \log_{x}x^{2\lg x} > \log_{x}{10x},\)
\(\dfrac{2\lg^{2}x - \lg x - 1}{\lg x} > 0.\)

По правилу промежутков:

\(- \frac{1}{2} < \lg x < 0\) и \(\lg x > 1\),
\(\frac{1}{\sqrt{10}} < x < 1\) и \(x > 10\),
\(\dfrac{1}{\sqrt{10}} < x < 1.\)

При \(x = 1\): \(1 < 10\) – верно, значит, \(x = 1\) также является решением.

\(x \in \left( \dfrac{1}{\sqrt{10}};\ 10 \right);\)

3) \(x + 3 > \log_{3}\left( 26 + 3^{x} \right)\)

ОДЗ: \(26 + 3^{x} > 0\), при любых \(x\);

\(\log_{3}3^{x + 3} > \log_{3}\left( 26 + 3^{x} \right),\)
\(3^{x + 3} > 26 + 3^{x},\)
\(26 + 3^{x} - 27 \cdot 3^{x} < 0,\)
\(26\left( 1 - 3^{x} \right) < 0,\)
\(3^{x} > 1,\)
\(x > 0;\)

4) \(3 - x < \log_{5}\left( 20 + 5^{x} \right)\)

ОДЗ: \(20 + 5^{x} > 0\), при любых \(x\);

\(\log_{5}5^{3 - x} < \log_{5}\left( 20 + 5^{x} \right),\)
\(5^{3 - x} < 20 + 5^{x},\)
\(\dfrac{125}{5^{x}} - 20 - 5^{x} < 0,\)
\(\dfrac{125 - 20 \cdot 5^{x} - 5^{2x}}{5^{x}} < 0,\)
\(\dfrac{(5^{x} + 25)(5^{x} - 5)}{5^{x}} > 0,\)
\(- 25 < 5^{x} < 0\) и \(5^{x} > 5\)
\(5^{x} > 0\), поэтому \(5^{x} > 5\),
\(x > 1.\)