Страница 410 номер 1358, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(x^{1 + \lg x} = 10x\)

Область допустимых значений: \(x > 0\);

\(x = 1\) – не корень: \(1^{1 + \lg 1} = 1 \neq 10\);
\(\log_{x}x^{1 + \lg x} = \log_{x}{10x},\)
\(1 + \lg x = 1 + \log_{x}10,\)
\(1 + \lg x = 1 + \dfrac{1}{\lg x},\)
\(\lg^{2}x = 1,\)
\(\lg x = \pm 1,\)
\(x_{1} = 10,\)
\(x_{2} = 0{,}1;\)

2) \(x^{\lg x} = 100x\)

Область допустимых значений: \(x > 0\);

\(x = 1\) – не корень: \(1^{\lg 1} = 1 \neq 100\);
\(\log_{x}x^{\lg x} = \log_{x}{100x},\)
\(\lg x = 1 + 2\log_{x}10,\)
\(\lg x = 1 + \dfrac{2}{\lg x},\)
\(\lg^{2}x - \lg x - 2 = 0,\)
\(\lg x = z, z^{2} - z - 2 = 0\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2},\)
\(z_{1} = 2, z_{2} = - 1\)
\(\lg x = 2\) или \(\lg x = - 1\)
\(x_{1} = 100,\)
\(x_{2} = 0{,}1;\)

3) \(\log_{2}\left( 17 - 2^{x} \right) + \log_{2}\left( 2^{x} + 15 \right) = 8\)

Область допустимых значений: \(17 - 2^{x} > 0\), \(2^{x} < 17\);

\(\log_{2}{\left( 17 - 2^{x} \right)\left( 2^{x} + 15 \right)} = \log_{2}2^{8},\)
\(\left( 17 - 2^{x} \right)\left( 2^{x} + 15 \right) = 2^{8},\)
\(255 + 2 \cdot 2^{x} - 2^{2x} = 256,\)
\(2^{x} = z, z^{2} - 2z + 1 = 0\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2},\)
\(z = 1,\)
\(2^{x} = 1,\)
\(x = 0;\)

4) \(\log_{2}\left( 3 + 2^{x} \right) + \log_{2}\left( 5 - 2^{x} \right) = 4\)

Область допустимых значений: \(5 - 2^{x} > 0\), \(2^{x} < 5\);

\(\log_{2}{\left( 3 + 2^{x} \right)\left( 5 - 2^{x} \right)} = \log_{2}2^{4},\)
\(\left( 3 + 2^{x} \right)\left( 5 - 2^{x} \right) = 16,\)
\(15 - 2^{2x} + 2 \cdot 2^{x} = 16,\)
\(2^{x} = z, z^{2} - 2z + 1 = 0,\)
\(z = 1,\)
\(2^{x} = 1,\)
\(x = 0.\)