Страница 38 номер 114, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Упростить выражение (114—117). 1) \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}\); 2) \(\frac{x - y}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} - \frac{x + y}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}\); 3) \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y}\); 4) \(\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} - 1\).
1) \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} = \frac{\left(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}\right)\left(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}\right)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} - \frac{\sqrt[4]{x}\left(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}\right)}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} =\)
\(= \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} - \sqrt[4]{x} =\)
\(= \sqrt[4]{y};\)
2) \(\frac{x - y}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} - \frac{x + y}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} =\)
\(= \frac{\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^{2}}\right)}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^{2}}\right)}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} =\)
\(= \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{xy} - \sqrt[3]{y^{2}} = 2\sqrt[3]{xy};\)
3) \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y} = \frac{\left(\sqrt[4]{x} - \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}\right)}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{y}} + \sqrt[3]{y} = \sqrt[4]{x} - \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{y} = \sqrt[4]{x};\)
4) \(\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} - 1 = \frac{\sqrt{x^{3}} - \sqrt{y^{3}}}{\sqrt{x^{2}y} - \sqrt{y^{2}x}} - 1 = \frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right)\left(x + \sqrt{xy} + y\right)}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right)} - 1 =\)
\(= \dfrac{x + y}{\sqrt{xy}} + \dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}} - 1 = \dfrac{x + y}{\sqrt{xy}}.\)
