Страница 37 номер 106, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) \(b_2 = -81\), \(S_2 = 162\); 2) \(b_2 = 33\), \(S_2 = 67\); 3) \(b_1 + b_2 = 130\), \(b_1 - b_3 = 120\); 4) \(b_2 + b_4 = 68\), \(b_2 - b_4 = 60\).
1) \(b_{2} = -81\), \(S_{2} = 162\), \(S_{2} = b_{1} + b_{2} = b_{1} - 81 = 162\), \(b_{1} = 243\),
\(b_{2} = b_{1} \cdot q, q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = -\dfrac{81}{243} = -\dfrac{1}{3}, |q| = \dfrac{1}{3} < 1;\)
2) \(b_{2} = 33\), \(S_{2} = 67\), \(S_{2} = b_{1} + 33 = 67\), \(b_{1} = 34\),
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{33}{34}, |q| = \dfrac{33}{34} < 1;\)
3) \(b_{1} + b_{2} = 130\), \(b_{1} - b_{3} = 120\),
\(\begin{cases} b_{1} + b_{1} \cdot q = 130 \\ b_{1} - b_{1} \cdot q^{2} = 120 \end{cases}, \begin{cases} \frac{120}{1 - q^{2}} + \frac{120}{1 - q^{2}}q = 130 \\ b_{1} = \frac{120}{1 - q^{2}} \end{cases}, |q| \neq 1,\)
\(120 + 120q = 130 - 130q^{2}, 13q^{2} + 12q - 1 = 0,\)
\(q_{1} = \frac{-12 + \sqrt{144 + 52}}{26} = \frac{-12 + 14}{26} = \frac{1}{13}\), \(q_{2} = -1\) – не соответствует \(|q| \neq 1\).
Значит \(|q| = \frac{1}{13} < 1\).
4) \(b_{2} + b_{4} = 68\), \(b_{2} - b_{4} = 60\), \(b_{2} = 60 + b_{4}\), \(60 + b_{4} + b_{4} = 68\),
\(2b_{4} = 8, b_{4} = 4, b_{2} = 60 + 4 = 64,\)
\(b_{4} = b_{2} \cdot q^{2} = 64 \cdot q^{2} = 4, q^{2} = \dfrac{4}{64},\)
\(|q| = \dfrac{1}{4} < 1.\)
