Страница 37 номер 111, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(a = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}\), \(b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}\)
\(a = \dfrac{2\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)}{5 - 3} + \dfrac{5\left(3 - 2\sqrt{2}\right)}{9 - 8} = \sqrt{5} + \sqrt{3} + 15 - 10\sqrt{2},\)
\(b = \frac{2\left(\sqrt{8} + \sqrt{5}\right)}{8 - 5} = \frac{2}{3}\left(\sqrt{8} + \sqrt{5}\right)\), домножим на 3:
\(3a = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{3} + 45 - 30\sqrt{2}\), \(3b = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5}\), вычтем \(2\sqrt{5}\) и прибавим \(30\sqrt{2}\): сравним \(45 + \sqrt{5} + 3\sqrt{3}\) и \(34\sqrt{2}\).
\(45 + \sqrt{5} + 3\sqrt{3} > 45 + 2 + \sqrt{25} = 52\) и \(34\sqrt{2} < 34 \cdot 1{,}5 = 51\). Значит \(a > b\).

2) \(a = \sqrt{2} + \sqrt{3}\), \(b = \sqrt{10}\)
\(a^{2} = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}\), \(b^{2} = 10\). Вычтем 5: сравним \(2\sqrt{6}\) и \(5\).
\(2\sqrt{6} = \sqrt{24} < \sqrt{25} = 5\). Т.к. \(a > 1\) и \(b > 1\), \(a^{2} < b^{2}\), то \(a < b\).

3) \(a = 5 - \sqrt{15}\), \(b = \sqrt{17} - 3\)

Прибавим 3 и \(\sqrt{15}\): сравним \(5 + 3 = 8\) и \(\sqrt{17} + \sqrt{15}\). Возведём в квадрат: \(8^{2} = 64\), \(\left(\sqrt{17} + \sqrt{15}\right)^{2} = 17 + 15 + 2\sqrt{17 \cdot 15}\).

Вычтем 32: сравним \(32\) и \(2\sqrt{17 \cdot 15}\). \(32 = 2\sqrt{16^{2}}\),

т.к. \(2\sqrt{16^{2}} > 2\sqrt{17 \cdot 15}\), то \(8 > \sqrt{17} + \sqrt{15}\) и \(a > b\).

4) \(a = \sqrt{13} - \sqrt{12}\), \(b = \sqrt{12} - \sqrt{11}\)
\(a = \dfrac{\left(\sqrt{13} - \sqrt{12}\right)\left(\sqrt{13} + \sqrt{12}\right)}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} = \dfrac{13 - 12}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} = \dfrac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{12}},\)
\(b = \frac{\left(\sqrt{12} - \sqrt{11}\right)\left(\sqrt{12} + \sqrt{11}\right)}{\sqrt{12} + \sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{12} + \sqrt{11}}\). Т.к. \(\sqrt{13} + \sqrt{12} > \sqrt{12} + \sqrt{11}\),
\(\frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{12}} < \frac{1}{\sqrt{12} + \sqrt{11}}\). Т.е. \(a < b\).