Страница 37 номер 108, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна \(\frac{13}{27}\).
\(b_{1} + b_{2} + b_{3} = 39, \dfrac{1}{b_{1}} + \dfrac{1}{b_{2}} + \dfrac{1}{b_{3}} = \dfrac{13}{27}, |q| < 1,\)
\(\begin{cases} b_{1} + b_{1}q + b_{1}q^{2} = 39 \\ \frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{1}q} + \frac{1}{b_{1}q^{2}} = \frac{13}{27} \end{cases}, \begin{cases} b_{1}(1 + q + q^{2}) = 39 \\ q^{2} + q + 1 = \frac{13}{27}b_{1}q^{2} \end{cases}, \begin{cases} b_{1} = \frac{39}{1 + q + q^{2}} \\ b_{1} = \frac{q^{2} + q + 1}{q^{2}} \cdot \frac{27}{13} \end{cases},\)
\(\dfrac{39}{1 + q + q^{2}} = \dfrac{q^{2} + q + 1}{q^{2}} \cdot \dfrac{27}{13}, \dfrac{39 \cdot 13}{27} = \dfrac{(q^{2} + q + 1)^{2}}{q^{2}},\)
\(\dfrac{q^{2} + q + 1}{q} = \pm\sqrt{\dfrac{13 \cdot 13}{9}}, \dfrac{q^{2} + q + 1}{q} = \pm\dfrac{13}{3},\)
\(q^{2} + q + 1 = \pm\dfrac{13q}{3}, 3q^{2} + 3q + 3 = \pm 13q:\)
\(3q^{2} - 10q + 3 = 0\) или \(3q^{2} + 16q + 3 = 0\)
\(q_{1} = \dfrac{10 - \sqrt{100 - 36}}{6} = \dfrac{10 - 8}{6} = \dfrac{1}{3},\)
\(q_{2} = \dfrac{10 + \sqrt{100 - 36}}{6} = \dfrac{10 + 8}{6} = 3 > 1,\)
\(q_{3} = \dfrac{-16 + \sqrt{256 - 36}}{6} = \dfrac{-16 + \sqrt{220}}{6} < 0,\)
\(q_{4} = \frac{-16 - \sqrt{256 - 36}}{6} = \frac{-16 - \sqrt{220}}{6} < 0\). Значит \(q = \frac{1}{3}\).
\(b_{1} = \dfrac{39}{1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9}} = \dfrac{39}{\dfrac{9 + 3 + 1}{9}} = \dfrac{39 \cdot 9}{13} = 27,\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{27}{1 - \dfrac{1}{3}} = 27 : \dfrac{2}{3} = \dfrac{81}{2} = 40{,}5.\)
