Страница 92 номер 9.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(r = 15\) см
расстояние от центра основания до образующей — \(12\) см

Найти: \(l\) и \(h\).

Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр его основания, \(KA\) — образующая. Высота \(KO\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(KO \perp OA\) и треугольник \(KOA\) прямоугольный. Расстояние от точки \(O\) до образующей \(KA\) — длина перпендикуляра \(OF\), проведённого к прямой \(KA\). Углы \(OAK\) и \(OKA\) прямоугольного треугольника \(KOA\) острые, поэтому основание \(F\) высоты, проведённой из вершины прямого угла, лежит на гипотенузе \(KA\): \(OF = 12\) см.

Из прямоугольного треугольника \(OFA\) (\(\angle OFA = 90^\circ\)): \(AF = \sqrt{OA^2 - OF^2} = \sqrt{225 - 144} = 9\) (см), \(\cos \angle OAF = \frac{AF}{OA} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\).

Точка \(F\) лежит на отрезке \(AK\), поэтому \(\angle OAK = \angle OAF\). Из прямоугольного треугольника \(KOA\): \(\cos \angle OAK = \frac{OA}{KA}\), откуда \(l = KA = \frac{OA}{\cos \angle OAK} = 15 : \frac{3}{5} = 25\) (см). По теореме Пифагора \(h = KO = \sqrt{KA^2 - OA^2} = \sqrt{625 - 225} = 20\) (см).

Ответ: образующая конуса равна 25 см, высота — 20 см.