Страница 92 номер 9.5, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8 см, а один из углов равен \(30^\circ\), вращается вокруг большего катета. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.
Дано:
прямоугольный треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(AB = 8\) см
\(\angle A = 30^\circ\)
ось вращения — прямая, содержащая больший катет
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Катет \(BC\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому он равен половине гипотенузы: \(BC = \frac{AB}{2} = 4\) (см). По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{64 - 16} = 4\sqrt{3}\) (см). Поскольку \(4\sqrt{3} > 4\), больший катет — \(AC\), и треугольник вращается вокруг прямой \(AC\).
При вращении прямоугольного треугольника \(ABC\) вокруг прямой \(AC\), содержащей его катет, образуется конус: \(A\) — его вершина, \(C\) — центр основания; при вращении гипотенузы \(AB\) образуется боковая поверхность конуса, а при вращении катета \(CB\) — основание. Значит, радиус основания конуса \(r = CB = 4\) см, а образующая \(l = AB = 8\) см.
\(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(32\pi\) см\(^2\).
Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8 см, а один из углов равен \(30^\circ\), вращается вокруг большего катета. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.
Дано:
прямоугольный треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(AB = 8\) см
\(\angle A = 30^\circ\)
ось вращения — прямая, содержащая больший катет
Найти: \(S_{\text{бок}}\) конуса.
Решение: Угол \(C\) прямой, поэтому угол \(30^\circ\) — один из острых углов треугольника; его вершина обозначена буквой \(A\). Катет \(BC\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому он равен половине гипотенузы: \(BC = \frac{AB}{2} = 4\) (см). По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{64 - 16} = 4\sqrt{3}\) (см). Поскольку \(4\sqrt{3} > 4\), больший катет — \(AC\), и треугольник вращается вокруг прямой \(AC\).
При вращении прямоугольного треугольника \(ABC\) вокруг прямой \(AC\), содержащей его катет, образуется конус: \(A\) — его вершина, \(C\) — центр основания; при вращении гипотенузы \(AB\) образуется боковая поверхность конуса, а при вращении катета \(CB\) — основание. Значит, радиус основания конуса \(r = CB = 4\) см, а образующая \(l = AB = 8\) см.
\(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(32\pi\) см\(^2\).
