Страница 93 номер 9.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(BC = 5\) см, \(AC = 12\) см
ось вращения — прямая \(AB\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём высоту \(CH\) треугольника \(ABC\). Углы \(A\) и \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) острые, поэтому точка \(H\) лежит на гипотенузе \(AB\) между точками \(A\) и \(B\).
При вращении вокруг прямой \(AB\) прямоугольный треугольник \(ACH\) (прямая \(AB\) содержит его катет \(AH\)) образует конус с вершиной \(A\), радиусом основания \(HC\) и образующей \(AC\), а прямоугольный треугольник \(BCH\) — конус с вершиной \(B\), радиусом основания \(HC\) и образующей \(BC\). Основание у этих конусов общее — круг с центром \(H\) радиуса \(HC\), а их вершины \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от плоскости этого круга: тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием.
Поверхность полученного тела состоит из боковых поверхностей двух конусов.
По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{144 + 25} = 13\) (см). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2}AC \cdot BC\) и равна \(\frac{1}{2}AB \cdot CH\), поэтому \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}\) (см).
По формуле \(S_{\text{бок}} = \pi rl\) площади боковых поверхностей конусов равны \(\pi \cdot HC \cdot AC\) и \(\pi \cdot HC \cdot BC\), поэтому
\[S = \pi \cdot HC \cdot (AC + BC) = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot (12 + 5) = \frac{1020\pi}{13}\ (\text{см}^2).\]
Ответ: \(\frac{1020\pi}{13}\) см\(^2\).
Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(BC = 5\) см, \(AC = 12\) см
ось вращения — прямая \(AB\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём высоту \(CH\) треугольника \(ABC\). Углы \(A\) и \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) острые, поэтому точка \(H\) лежит на гипотенузе \(AB\) между точками \(A\) и \(B\).
При вращении вокруг прямой \(AB\) прямоугольный треугольник \(ACH\) (прямая \(AB\) содержит его катет \(AH\)) образует конус с вершиной \(A\), радиусом основания \(HC\) и образующей \(AC\), а прямоугольный треугольник \(BCH\) — конус с вершиной \(B\), радиусом основания \(HC\) и образующей \(BC\). Основание у этих конусов общее — круг с центром \(H\) радиуса \(HC\), а их вершины \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от плоскости этого круга: тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием.
Поверхность полученного тела состоит из боковых поверхностей двух конусов, поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей.
По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{144 + 25} = 13\) (см). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2}AC \cdot BC\) и равна \(\frac{1}{2}AB \cdot CH\), поэтому \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}\) (см).
По формуле \(S_{\text{бок}} = \pi rl\) площади боковых поверхностей конусов равны \(\pi \cdot HC \cdot AC\) и \(\pi \cdot HC \cdot BC\), поэтому
\[S = \pi \cdot HC \cdot (AC + BC) = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot (12 + 5) = \frac{1020\pi}{13}\ (\text{см}^2).\]
Ответ: \(\frac{1020\pi}{13}\) см\(^2\).
