Страница 92 номер 9.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите площадь осевого сечения конуса, образовавшегося в результате вращения прямоугольного треугольника с гипотенузой 17 см и катетом 15 см вокруг другого катета.
Дано:
прямоугольный треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(AB = 17\) см
\(BC = 15\) см
ось вращения — прямая \(AC\)
Найти: площадь осевого сечения конуса.
Решение: При вращении прямоугольного треугольника \(ABC\) вокруг прямой \(AC\), содержащей его катет, образуется конус: \(A\) — его вершина, \(C\) — центр основания, \(AC\) — высота, \(CB\) — радиус основания, \(AB\) — образующая. По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8\) (см).
Плоскость \(ABC\) содержит прямую \(AC\) — ось конуса, поэтому она пересекает конус по осевому сечению — равнобедренному треугольнику \(ABD\), где \(BD\) — диаметр основания, а \(AB = AD = 17\) см — образующие.
Основание треугольника \(ABD\) — диаметр \(BD = 2 \cdot CB = 30\) см, а \(AC\) — его высота: \(AC \perp BD\), так как \(\angle ACB = 90^\circ\).
\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120\) (см\(^2\)).
Ответ: \(120\) см\(^2\).
