Страница 92 номер 9.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Высота конуса равна \(4\sqrt{5}\) см, а расстояние от центра основания до середины образующей конуса — 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Дано:
\(h = 4\sqrt{5}\) см
расстояние от центра основания до середины образующей — \(6\) см
Найти: \(S_{\text{полн}}\).
Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр его основания, \(KA\) — образующая, \(M\) — её середина: \(OM = 6\) см. Высота \(KO\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(KO \perp OA\) и треугольник \(KOA\) прямоугольный с гипотенузой \(KA\).
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому \(l = KA = 2 \cdot OM = 12\) (см).
По теореме Пифагора \(r = OA = \sqrt{KA^2 - KO^2} = \sqrt{144 - 80} = 8\) (см).
\(S_{\text{полн}} = \pi rl + \pi r^2 = \pi \cdot 8 \cdot 12 + \pi \cdot 8^2 = 96\pi + 64\pi = 160\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(160\pi\) см\(^2\).
