Страница 93 номер 9.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, содержащей его основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(\triangle ABC\), \(AB = BC\)
\(AC = a\), \(\angle ABC = \alpha\)
ось вращения — прямая \(AC\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём высоту \(BM\) к основанию \(AC\). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому \(AM = MC = \frac{a}{2}\) и \(\angle ABM = \frac{\alpha}{2}\).
При вращении вокруг прямой \(AC\) прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CBM\) (прямая \(AC\) содержит их катеты \(AM\) и \(CM\)) образуют конусы с вершинами \(A\) и \(C\) и образующими \(AB\) и \(CB\). Основание у этих конусов общее — круг с центром \(M\) радиуса \(BM\), а вершины \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от плоскости этого круга.
Поверхность полученного тела состоит из боковых поверхностей двух конусов. Образующие конусов равны (\(AB = CB\)), а радиус основания у них общий, поэтому площади их боковых поверхностей равны.
Из прямоугольного треугольника \(ABM\): \(BM = AM\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\), \(AB = \frac{AM}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\). По формуле \(S_{\text{бок}} = \pi rl\):
\[S = 2\pi \cdot BM \cdot AB = 2\pi \cdot \frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi a^2\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).
Равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, содержащей его основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(\triangle ABC\), \(AB = BC\)
\(AC = a\), \(\angle ABC = \alpha\)
ось вращения — прямая \(AC\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём высоту \(BM\) к основанию \(AC\). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому \(AM = MC = \frac{a}{2}\) и \(\angle ABM = \frac{\alpha}{2}\).
При вращении вокруг прямой \(AC\) прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CBM\) (прямая \(AC\) содержит их катеты \(AM\) и \(CM\)) образуют конусы с вершинами \(A\) и \(C\) и образующими \(AB\) и \(CB\). Основание у этих конусов общее — круг с центром \(M\) радиуса \(BM\), а вершины \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от плоскости этого круга.
Поверхность полученного тела состоит из боковых поверхностей двух конусов, поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей. Образующие конусов равны (\(AB = CB\)), а радиус основания у них общий, поэтому площади их боковых поверхностей равны.
Из прямоугольного треугольника \(ABM\): \(BM = AM\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\), \(AB = \frac{AM}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\). По формуле \(S_{\text{бок}} = \pi rl\):
\[S = 2\pi \cdot BM \cdot AB = 2\pi \cdot \frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi a^2\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.\]
Ответ: \(\frac{\pi a^2\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).
