Страница 92 номер 9.4, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(l = a\)
угол осевого сечения при вершине конуса — \(\alpha\)

Найти: 1) площадь осевого сечения; 2) \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр его основания, \(AKB\) — осевое сечение: \(KA = KB = a\), \(\angle AKB = \alpha\).

1) \(S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot KA \cdot KB \cdot \sin \angle AKB = \frac{1}{2}a^2 \sin \alpha\).

2) Основание \(AB\) осевого сечения — диаметр основания конуса, точка \(O\) — его середина. Отрезок \(KO\) перпендикулярен плоскости основания, а значит, и прямой \(AB\), лежащей в ней. Поэтому \(KO\) — высота равнобедренного треугольника \(AKB\), проведённая к основанию, и она же — его биссектриса: \(\angle AKO = \frac{\alpha}{2}\).

Из прямоугольного треугольника \(KOA\) (\(\angle KOA = 90^\circ\)): \(r = OA = KA \sin \angle AKO = a \sin \frac{\alpha}{2}\). Тогда \(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot a \sin \frac{\alpha}{2} \cdot a = \pi a^2 \sin \frac{\alpha}{2}\).

Ответ: 1) \(\frac{1}{2}a^2 \sin \alpha\); 2) \(\pi a^2 \sin \frac{\alpha}{2}\).