Страница 92 номер 9.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(H\) — высота конуса
угол между образующей и плоскостью основания — \(\alpha\)

Найти: 1) площадь осевого сечения; 2) \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр его основания, \(AKB\) — осевое сечение; \(KO = H\). Высота \(KO\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(KO \perp OA\) и \(OA\) — проекция образующей \(KA\) на эту плоскость. Значит, угол между образующей \(KA\) и плоскостью основания — это угол \(KAO\): \(\angle KAO = \alpha\).

Из прямоугольного треугольника \(KOA\) (\(\angle KOA = 90^\circ\)):

\[\begin{aligned} r &= OA = KO \cdot \operatorname{ctg} \alpha = H \operatorname{ctg} \alpha; \\ l &= KA = \frac{KO}{\sin \alpha} = \frac{H}{\sin \alpha}. \end{aligned}\]

1) Осевое сечение \(AKB\) — равнобедренный треугольник с основанием \(AB = 2r = 2H \operatorname{ctg} \alpha\). Отрезок \(KO\) перпендикулярен плоскости основания, а значит, и прямой \(AB\), лежащей в ней, поэтому \(KO = H\) — высота треугольника \(AKB\): \(S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 2H \operatorname{ctg} \alpha \cdot H = H^2 \operatorname{ctg} \alpha\).

2) \(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot H \operatorname{ctg} \alpha \cdot \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{\pi H^2 \operatorname{ctg} \alpha}{\sin \alpha}\).

Ответ: 1) \(H^2 \operatorname{ctg} \alpha\); 2) \(\frac{\pi H^2 \operatorname{ctg} \alpha}{\sin \alpha}\).