Страница 92 номер 9.1, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(r = 9\) см
угол между образующей и плоскостью основания — \(30^\circ\)

Найти: 1) \(S_{\text{бок}}\); 2) площадь осевого сечения.

Решение: Пусть \(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр его основания, \(AKB\) — осевое сечение. Ось конуса перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(KO \perp OA\) и \(OA\) — проекция образующей \(KA\) на плоскость основания. Значит, угол между образующей \(KA\) и плоскостью основания — это угол \(KAO\): \(\angle KAO = 30^\circ\).

Из прямоугольного треугольника \(KOA\) (\(\angle KOA = 90^\circ\)): \(l = KA = \frac{OA}{\cos 30^\circ} = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\) (см).

1) \(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}\) (см\(^2\)).

2) Из того же треугольника \(KOA\): \(KO = OA \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\) (см). Осевое сечение \(AKB\) — равнобедренный треугольник с основанием \(AB = 2r = 18\) см. Отрезок \(KO\) перпендикулярен плоскости основания, а значит, и прямой \(AB\), лежащей в ней, поэтому \(KO\) — высота треугольника \(AKB\).

\(S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}\) (см\(^2\)).

Ответ: 1) \(54\pi\sqrt{3}\) см\(^2\); 2) \(27\sqrt{3}\) см\(^2\).