Вопросы после параграфа §9 на страницах 91-92, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Рассмотрим на плоскости \(\alpha\) окружность с центром \(O\). Проведём отрезок \(OK\) перпендикулярно плоскости \(\alpha\). Соединим точку \(K\) со всеми точками окружности. Все проведённые отрезки (например, \(KX\) и \(KY\)) образуют некоторую фигуру \(F\). Окружность с центром \(O\) ограничивает круг. Тело, ограниченное этим кругом и фигурой \(F\), называют конусом.

Конус можно рассматривать как тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.

Ответ: конусом называют тело, ограниченное кругом с центром \(O\) и фигурой \(F\), которую образуют все отрезки, соединяющие точку \(K\) с точками окружности этого круга; при этом отрезок \(OK\) перпендикулярен плоскости круга.

На плоскости \(\alpha\) рассматривают окружность с центром \(O\), проводят отрезок \(OK\) перпендикулярно плоскости \(\alpha\) и соединяют точку \(K\) со всеми точками окружности. Все проведённые отрезки образуют некоторую фигуру \(F\). Фигуру \(F\) называют боковой поверхностью конуса, круг — основанием конуса, отрезки, образующие фигуру \(F\), — образующими конуса. Отрезки \(KX\) и \(KY\) — образующие конуса. Все образующие конуса равны и составляют равные углы с плоскостью основания.

Ответ: боковой поверхностью конуса называют фигуру \(F\), которую образуют все отрезки, соединяющие точку \(K\) со всеми точками окружности с центром \(O\), лежащей в плоскости \(\alpha\), где отрезок \(OK\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\); эти отрезки называют образующими конуса.

Конус ограничен кругом и боковой поверхностью; круг называют основанием конуса. Общий конец всех образующих называют вершиной конуса: точка \(K\) — вершина конуса. Прямую, проходящую через вершину конуса и центр его основания, называют осью конуса: прямая \(KO\) — ось конуса. Ось конуса перпендикулярна плоскости его основания. Высотой конуса называют отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания: отрезок \(KO\) — высота конуса.

Ответ: основанием конуса называют круг, который вместе с боковой поверхностью ограничивает конус; осью конуса называют прямую, проходящую через вершину конуса и центр его основания; высотой конуса называют отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания.

Если конус пересечь плоскостью, проходящей через его ось, то в сечении образуется равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, основание — диаметр основания конуса. Такое сечение называют осевым сечением конуса. Плоскость, содержащая осевое сечение конуса, является его плоскостью симметрии.

Ответ: осевым сечением конуса называют сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось; это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр основания конуса.

Рассмотрим осевое сечение \(AKB\) конуса с вершиной \(K\) и центром основания \(O\). Через образующую \(KA\) проведём плоскость \(\alpha\) перпендикулярно плоскости \(AKB\). Плоскость \(\alpha\) называют касательной плоскостью к конусу. Также говорят, что плоскость \(\alpha\) касается конуса по образующей \(KA\).

Ответ: касательной плоскостью к конусу называют плоскость \(\alpha\), проходящую через образующую \(KA\) перпендикулярно плоскости осевого сечения \(AKB\), которое содержит эту образующую; говорят, что плоскость \(\alpha\) касается конуса по образующей \(KA\).

Представим себе, что поверхность конуса разрезали по окружности основания и некоторой образующей, а затем развернули на плоскости. Полученную фигуру называют развёрткой конуса на плоскость или просто развёрткой конуса. Она состоит из круга, равного основанию конуса, и кругового сектора, который называют развёрткой боковой поверхности конуса. Если образующая конуса равна \(l\), а радиус основания конуса — \(r\), то радиус кругового сектора \(AKB\) равен \(l\), а длина его дуги \(AB\) — \(2\pi r\); круг с центром \(O\) имеет радиус \(r\). Если градусная мера угла \(AKB\) равна \(\alpha\), то длина дуги \(AB\) равна \(\frac{\pi l\alpha}{180}\). Имеем: \(2\pi r = \frac{\pi l\alpha}{180}\), отсюда \(\alpha = \frac{360r}{l}\).

Ответ: развёртка конуса состоит из круга, равного основанию конуса, и кругового сектора — развёртки боковой поверхности конуса; радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги — длине окружности основания.

За площадь \(S_{\text{бок}}\) боковой поверхности конуса принимают площадь его развёртки боковой поверхности, то есть площадь кругового сектора, радиус которого равен образующей \(l\) конуса, а длина дуги равна \(2\pi r\), где \(r\) — радиус основания конуса.

Ответ: за площадь боковой поверхности конуса принимают площадь его развёртки боковой поверхности.

Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор радиуса \(l\), градусная мера угла которого равна \(\alpha = \frac{360r}{l}\), где \(l\) — образующая, \(r\) — радиус основания конуса. Площадь этого сектора принимают за \(S_{\text{бок}}\): \(S_{\text{бок}} = \frac{\pi l^2\alpha}{360} = \frac{\pi l^2}{360} \cdot \frac{360r}{l} = \pi rl\).

Ответ: площадь боковой поверхности конуса вычисляют по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi rl\), где \(r\) — радиус основания конуса, \(l\) — длина образующей конуса.

Площадью полной поверхности конуса называют сумму площадей боковой поверхности и основания конуса: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\), где \(S_{\text{полн}}\) — площадь полной поверхности конуса, \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания конуса. Площадь основания конуса равна \(\pi r^2\), а \(S_{\text{бок}} = \pi rl\), поэтому \(S_{\text{полн}} = \pi rl + \pi r^2\).

Ответ: площадь полной поверхности конуса вычисляют по формуле \(S_{\text{полн}} = \pi rl + \pi r^2\), где \(r\) — радиус основания конуса, \(l\) — длина образующей конуса.