Страница 59 номер 6.15, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(1; -2; 1)\) и \(B(4; 1; 3)\) параллельно оси \(y\).
Уравнение плоскости, параллельной оси ординат, имеет вид \(ax + cz + d = 0\). Подставим в него координаты точек \(A\) и \(B\): \[\begin{cases} a + c + d = 0, \\ 4a + 3c + d = 0. \end{cases}\] Из первого уравнения \(a = -c - d\); подставив это во второе, получим \(-4c - 4d + 3c + d = 0\), откуда \(c = -3d\) и \(a = 3d - d = 2d\). Уравнение плоскости приобретает вид \(2dx - 3dz + d = 0\). Плоскость, параллельная оси ординат, не имеет с этой осью общих точек и, в частности, не проходит через начало координат. Поэтому \(d \ne 0\): при \(d = 0\) координаты точки \(O(0; 0; 0)\) удовлетворяли бы уравнению, то есть начало координат лежало бы в плоскости, а это не так. \[\begin{aligned} 2dx - 3dz + d &= 0; \qquad | : d \\ 2x - 3z + 1 &= 0. \end{aligned}\] Плоскость \(2x - 3z + 1 = 0\) действительно параллельна оси ординат: ни одна точка этой оси \((0; t; 0)\) ей не принадлежит, так как \(2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 \ne 0\).
Ответ: \(2x - 3z + 1 = 0\).
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(1; -2; 1)\) и \(B(4; 1; 3)\) параллельно оси \(y\).
Уравнение плоскости, параллельной оси ординат, имеет вид \(ax + cz + d = 0\). Подставим в него координаты точек \(A(1; -2; 1)\) и \(B(4; 1; 3)\): \[\begin{cases} a + c + d = 0, \\ 4a + 3c + d = 0. \end{cases}\] Из первого уравнения \(a = -c - d\); подставив это во второе, получим \(-4c - 4d + 3c + d = 0\), откуда \(c = -3d\) и \(a = 3d - d = 2d\). Уравнение плоскости приобретает вид \(2dx - 3dz + d = 0\). Плоскость, параллельная оси ординат, не имеет с этой осью общих точек и, в частности, не проходит через начало координат. Поэтому \(d \ne 0\): при \(d = 0\) координаты точки \(O(0; 0; 0)\) удовлетворяли бы уравнению, то есть начало координат лежало бы в плоскости, а это не так. Разделим обе части уравнения на \(d\): \[\begin{aligned} 2dx - 3dz + d &= 0; \qquad | : d \\ 2x - 3z + 1 &= 0. \end{aligned}\] Плоскость \(2x - 3z + 1 = 0\) действительно параллельна оси ординат: ни одна точка этой оси \((0; t; 0)\) ей не принадлежит, так как \(2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 \ne 0\).
Ответ: \(2x - 3z + 1 = 0\).
