Страница 59 номер 6.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Рёбра \(AD\), \(AB\) и \(AA_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(A\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(AD\), \(AB\) и \(AA_1\); единичный отрезок равен ребру куба.

Тогда \(A_1(0; 0; 1)\), \(B_1(0; 1; 1)\), \(C(1; 1; 0)\), \(D_1(1; 0; 1)\).

Плоскость \(AB_1D_1\) проходит через начало координат, поэтому её уравнение имеет вид \(ax + by + cz = 0\), где числа \(a\), \(b\) и \(c\) не равны нулю одновременно. Подставив координаты точек \(B_1\) и \(D_1\), получим \(b + c = 0\) и \(a + c = 0\), то есть \(a = b = -c\), причём \(c \ne 0\): иначе все три коэффициента были бы равны нулю, а они не равны нулю одновременно. Уравнение плоскости \(AB_1D_1\): \[\begin{aligned} -cx - cy + cz &= 0; \qquad | : (-c) \\ x + y - z &= 0. \end{aligned}\]

Вектор \(\vec{n}(1; 1; -1)\), координаты которого — коэффициенты при \(x\), \(y\) и \(z\) в этом уравнении, является вектором нормали плоскости \(AB_1D_1\).

Вектор \(\overrightarrow{A_1C}\) имеет координаты \((1 - 0; 1 - 0; 0 - 1)\), то есть \((1; 1; -1)\), и совпадает с вектором \(\vec{n}\). Значит, \(\overrightarrow{A_1C}\) — вектор нормали плоскости \(AB_1D_1\), то есть прямая \(A_1C\) перпендикулярна плоскости \(AB_1D_1\).

Ответ: прямая \(A_1C\) перпендикулярна плоскости \(AB_1D_1\).