Страница 59 номер 6.23, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(MABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — квадрат
\(AB = 8\) см
\(MD \perp ABC\)
\(MD = 4\) см
\(K\) — точка ребра \(MB\), \(MK : KB = 3 : 1\)
плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(K\), \(\alpha \perp MB\)
\(F\) — точка пересечения плоскости \(\alpha\) и прямой \(BC\)
Найти: \(BF\).
Решение: Стороны \(DA\) и \(DC\) квадрата перпендикулярны, а ребро \(DM\) перпендикулярно плоскости основания, поэтому прямые \(DA\), \(DC\) и \(DM\) попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(D\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(DA\), \(DC\) и \(DM\); единичный отрезок — 1 см.
Тогда \(B(8; 8; 0)\), \(C(0; 8; 0)\), \(M(0; 0; 4)\). Точка \(K\) делит отрезок \(MB\) в отношении \(3 : 1\), считая от точки \(M\), поэтому \(K\left(\frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4}; \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4}; \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4}\right)\), то есть \(K(6; 6; 1)\).
Прямая \(MB\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), поэтому ненулевой вектор \(\overrightarrow{MB}(8; 8; -4)\) — вектор нормали плоскости \(\alpha\); коллинеарный ему вектор \(\vec{n}(2; 2; -1)\) (\(\overrightarrow{MB} = 4\vec{n}\)) — тоже. Уравнение плоскости \(\alpha\), проходящей через точку \(K\): \[\begin{aligned} 2(x - 6) + 2(y - 6) - (z - 1) &= 0; \\ 2x + 2y - z - 23 &= 0. \end{aligned}\]
Прямая \(BC\) параллельна оси \(x\) и проходит через точку \(C(0; 8; 0)\), поэтому каждая её точка имеет ординату 8 и аппликату 0. Пусть \(F(x; 8; 0)\); точка \(F\) лежит в плоскости \(\alpha\): \[\begin{aligned} 2x + 2 \cdot 8 - 0 - 23 &= 0; \\ 2x &= 7; \qquad | : 2 \\ x &= \frac{7}{2}. \end{aligned}\]
Значит, \(F\left(\frac{7}{2}; 8; 0\right)\), и \(BF = \sqrt{\left(8 - \frac{7}{2}\right)^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{9}{2} = 4{,}5\) (см).
Ответ: \(4{,}5\) см.
Дано:
\(MABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — квадрат
\(AB = 8\) см
\(MD \perp ABC\)
\(MD = 4\) см
\(K\) — точка ребра \(MB\), \(MK : KB = 3 : 1\)
плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(K\), \(\alpha \perp MB\)
\(F\) — точка пересечения плоскости \(\alpha\) и прямой \(BC\)
Найти: \(BF\).
Решение: Стороны \(DA\) и \(DC\) квадрата перпендикулярны, а ребро \(DM\) перпендикулярно плоскости основания, поэтому прямые \(DA\), \(DC\) и \(DM\) попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(D\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(DA\), \(DC\) и \(DM\); единичный отрезок — 1 см.
Тогда \(B(8; 8; 0)\), \(C(0; 8; 0)\), \(M(0; 0; 4)\). Точка \(K\) делит отрезок \(MB\) в отношении \(3 : 1\), считая от точки \(M\), поэтому \(K\left(\frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4}; \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4}; \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4}\right)\), то есть \(K(6; 6; 1)\).
Прямая \(MB\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), поэтому ненулевой вектор \(\overrightarrow{MB}(8; 8; -4)\) — вектор нормали плоскости \(\alpha\); коллинеарный ему вектор \(\vec{n}(2; 2; -1)\) (\(\overrightarrow{MB} = 4\vec{n}\)) — тоже. Уравнение плоскости \(\alpha\), проходящей через точку \(K(6; 6; 1)\): \[\begin{aligned} 2(x - 6) + 2(y - 6) - (z - 1) &= 0; \\ 2x + 2y - z - 23 &= 0. \end{aligned}\]
Прямая \(BC\) параллельна оси \(x\) и проходит через точку \(C(0; 8; 0)\), поэтому каждая её точка имеет ординату 8 и аппликату 0. Пусть \(F(x; 8; 0)\); точка \(F\) лежит в плоскости \(\alpha\): \[\begin{aligned} 2x + 2 \cdot 8 - 0 - 23 &= 0; \\ 2x &= 7; \qquad | : 2 \\ x &= \frac{7}{2}. \end{aligned}\]
Значит, \(F\left(\frac{7}{2}; 8; 0\right)\), и по формуле расстояния между двумя точками \(BF = \sqrt{\left(8 - \frac{7}{2}\right)^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{9}{2} = 4{,}5\) (см).
Ответ: \(4{,}5\) см.
