Страница 59 номер 6.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(1; 2; 3)\), \(B(4; 1; 2)\) и \(C(2; -1; 1)\).
Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) имеют координаты \((3; -1; -1)\) и \((1; -3; -2)\). Если бы они были коллинеарны, то, поскольку \(\overrightarrow{AB} \ne \vec{0}\), нашлось бы число \(k\) такое, что \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\), то есть \(1 = 3k\) и \(-3 = -k\); но из первого равенства \(k = \frac{1}{3}\), а из второго \(k = 3\). Значит, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) неколлинеарны, точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой и через них проходит единственная плоскость.
Пусть \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали этой плоскости. Он перпендикулярен прямым \(AB\) и \(AC\), лежащим в плоскости, поэтому \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\): \[\begin{cases} 3a - b - c = 0, \\ a - 3b - 2c = 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(c = 3a - b\); подставив это выражение во второе, получим \(a - 3b - 6a + 2b = 0\), то есть \(b = -5a\), и тогда \(c = 3a + 5a = 8a\). Координаты вектора нормали имеют вид \(\vec{n}(a; -5a; 8a)\). Тогда вектор с координатами \((1; -5; 8)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(ABC\), а значит, сам является её вектором нормали, и уравнение плоскости имеет вид \(x - 5y + 8z + d = 0\).
Подставив в это уравнение координаты точки \(A\), получим \(1 - 10 + 24 + d = 0\), откуда \(d = -15\).
Ответ: \(x - 5y + 8z - 15 = 0\).
