Страница 59 номер 6.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(C(-2; 0; 1)\) и \(D(1; 5; 0)\) параллельно оси \(x\).
Уравнение плоскости, параллельной оси абсцисс, имеет вид \(by + cz + d = 0\). Подставим в него координаты точек \(C\) и \(D\): \[\begin{cases} c + d = 0, \\ 5b + d = 0. \end{cases}\] Отсюда \(c = -d\) и \(b = -\frac{d}{5}\), и уравнение плоскости приобретает вид \(-\frac{d}{5}y - dz + d = 0\). Плоскость, параллельная оси абсцисс, не имеет с этой осью общих точек и, в частности, не проходит через начало координат. Поэтому \(d \ne 0\): при \(d = 0\) координаты точки \(O(0; 0; 0)\) удовлетворяли бы уравнению, то есть начало координат лежало бы в плоскости, а это не так. \[\begin{aligned} -\frac{d}{5}y - dz + d &= 0; \qquad | \cdot \left(-\frac{5}{d}\right) \\ y + 5z - 5 &= 0. \end{aligned}\] Плоскость \(y + 5z - 5 = 0\) действительно параллельна оси абсцисс: ни одна точка этой оси \((t; 0; 0)\) ей не принадлежит, так как \(0 + 5 \cdot 0 - 5 = -5 \ne 0\).
Ответ: \(y + 5z - 5 = 0\).
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(C(-2; 0; 1)\) и \(D(1; 5; 0)\) параллельно оси \(x\).
Уравнение плоскости, параллельной оси абсцисс, имеет вид \(by + cz + d = 0\). Подставим в него координаты точек \(C(-2; 0; 1)\) и \(D(1; 5; 0)\): \[\begin{cases} c + d = 0, \\ 5b + d = 0. \end{cases}\] Отсюда \(c = -d\) и \(b = -\frac{d}{5}\), и уравнение плоскости приобретает вид \(-\frac{d}{5}y - dz + d = 0\). Плоскость, параллельная оси абсцисс, не имеет с этой осью общих точек и, в частности, не проходит через начало координат. Поэтому \(d \ne 0\): при \(d = 0\) координаты точки \(O(0; 0; 0)\) удовлетворяли бы уравнению, то есть начало координат лежало бы в плоскости, а это не так. Умножим обе части уравнения на \(-\frac{5}{d}\): \[\begin{aligned} -\frac{d}{5}y - dz + d &= 0; \qquad | \cdot \left(-\frac{5}{d}\right) \\ y + 5z - 5 &= 0. \end{aligned}\] Плоскость \(y + 5z - 5 = 0\) действительно параллельна оси абсцисс: ни одна точка этой оси \((t; 0; 0)\) ей не принадлежит, так как \(0 + 5 \cdot 0 - 5 = -5 \ne 0\).
Ответ: \(y + 5z - 5 = 0\).
