Страница 59 номер 6.20, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно 4 см, \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AD\) и \(BB_1\), точка \(E\) лежит на ребре \(CD\) и \(DE = 1\) см, а точка \(F\) лежит на продолжении ребра \(CD\) за точку \(D\), причём \(D\) — середина отрезка \(CF\). Докажем, что прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).
Рёбра \(DA\), \(DC\) и \(DD_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(D\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(DA\), \(DC\) и \(DD_1\); единичный отрезок — 1 см.
Тогда \(A(4; 0; 0)\), \(B(4; 4; 0)\), \(C(0; 4; 0)\), \(D_1(0; 0; 4)\), \(B_1(4; 4; 4)\), \(M(2; 0; 0)\) и \(K(4; 4; 2)\). Точка \(E\) лежит на луче \(DC\) и \(DE = 1\) см, поэтому \(E(0; 1; 0)\). Точка \(D\) — середина отрезка \(CF\); если \(F(x; y; z)\), то \(\frac{0 + x}{2} = 0\), \(\frac{4 + y}{2} = 0\), \(\frac{0 + z}{2} = 0\), откуда \(F(0; -4; 0)\).
Векторы \(\overrightarrow{MD_1}\) и \(\overrightarrow{ME}\) имеют координаты \((-2; 0; 4)\) и \((-2; 1; 0)\). Пусть \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали плоскости \(MD_1E\). Он перпендикулярен прямым \(MD_1\) и \(ME\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{MD_1} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{ME} = 0\): \[\begin{cases} -2a + 4c = 0, \\ -2a + b = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(a = 2c\) и \(b = 2a = 4c\), то есть \(\vec{n}(2c; 4c; c)\). Тогда вектор \(\vec{p}(2; 4; 1)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(MD_1E\), а значит, сам является её вектором нормали.
Вектор \(\overrightarrow{KF}\) имеет координаты \((0 - 4; -4 - 4; 0 - 2)\), то есть \((-4; -8; -2)\), поэтому \(\overrightarrow{KF} = -2\vec{p}\). Ненулевой вектор \(\overrightarrow{KF}\) коллинеарен вектору нормали \(\vec{p}\), значит, он тоже является вектором нормали плоскости \(MD_1E\), то есть прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).
Ответ: прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно 4 см, \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AD\) и \(BB_1\), точка \(E\) лежит на ребре \(CD\) и \(DE = 1\) см, а точка \(F\) лежит на продолжении ребра \(CD\) за точку \(D\), причём \(D\) — середина отрезка \(CF\). Докажем, что прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).
Рёбра \(DA\), \(DC\) и \(DD_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(D\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(DA\), \(DC\) и \(DD_1\); единичный отрезок — 1 см.
Тогда \(A(4; 0; 0)\), \(B(4; 4; 0)\), \(C(0; 4; 0)\), \(D_1(0; 0; 4)\), \(B_1(4; 4; 4)\). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, поэтому \(M(2; 0; 0)\) и \(K(4; 4; 2)\). Точка \(E\) лежит на луче \(DC\) и \(DE = 1\) см, поэтому \(E(0; 1; 0)\). Точка \(D\) — середина отрезка \(CF\); если \(F(x; y; z)\), то \(\frac{0 + x}{2} = 0\), \(\frac{4 + y}{2} = 0\), \(\frac{0 + z}{2} = 0\), откуда \(F(0; -4; 0)\).
Векторы \(\overrightarrow{MD_1}\) и \(\overrightarrow{ME}\) имеют координаты \((-2; 0; 4)\) и \((-2; 1; 0)\). Пусть \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали плоскости \(MD_1E\). Он перпендикулярен прямым \(MD_1\) и \(ME\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{MD_1} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{ME} = 0\): \[\begin{cases} -2a + 4c = 0, \\ -2a + b = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(a = 2c\) и \(b = 2a = 4c\), то есть \(\vec{n}(2c; 4c; c)\). Тогда вектор \(\vec{p}(2; 4; 1)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(MD_1E\), а значит, сам является её вектором нормали.
Вектор \(\overrightarrow{KF}\) имеет координаты \((0 - 4; -4 - 4; 0 - 2)\), то есть \((-4; -8; -2)\), поэтому \(\overrightarrow{KF} = -2\vec{p}\). Ненулевой вектор \(\overrightarrow{KF}\) коллинеарен вектору нормали \(\vec{p}\), значит, он тоже является вектором нормали плоскости \(MD_1E\), то есть прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).
Ответ: прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).
