Страница 60 номер 6.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = 1\) см
\(M\) — точка ребра \(AA_1\), \(AM = \frac{1}{3}\) см
\(N\) — точка ребра \(BC\), \(BN = \frac{1}{4}\) см
\(O\) — середина отрезка \(DB_1\)
Найти: \(\rho\) — расстояние от точки \(B_1\) до плоскости \(MON\).
Решение: Рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(B\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\); единичный отрезок — 1 см.
Тогда \(D(1; 1; 0)\), \(B_1(0; 0; 1)\), \(M\left(1; 0; \frac{1}{3}\right)\), \(N\left(0; \frac{1}{4}; 0\right)\), а середина отрезка \(DB_1\) — точка \(O\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\).
Векторы \(\overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{ON}\) имеют координаты \(\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}\right)\) и \(\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}\right)\). Пусть \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали плоскости \(MON\). Он перпендикулярен прямым \(OM\) и \(ON\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{OM} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{ON} = 0\): \[\begin{cases} \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b - \frac{1}{6}c = 0, & | \cdot 6 \\ -\frac{1}{2}a - \frac{1}{4}b - \frac{1}{2}c = 0; & | \cdot (-4) \end{cases}\] \[\begin{cases} 3a - 3b - c = 0, \\ 2a + b + 2c = 0. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(b = -2a - 2c\); подставив это выражение в первое, получим \(3a + 6a + 6c - c = 0\), то есть \(9a = -5c\) и \(a = -\frac{5}{9}c\); тогда \(b = \frac{10}{9}c - 2c = -\frac{8}{9}c\). Координаты вектора нормали имеют вид \(\vec{n}\left(-\frac{5}{9}c; -\frac{8}{9}c; c\right)\). Тогда вектор с координатами \((5; 8; -9)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(MON\), а значит, сам является её вектором нормали, и уравнение плоскости имеет вид \(5x + 8y - 9z + d = 0\). Подставив координаты точки \(N\), получим \(5 \cdot 0 + 8 \cdot \frac{1}{4} - 9 \cdot 0 + d = 0\), откуда \(d = -2\). Значит, плоскость \(MON\) задаётся уравнением \(5x + 8y - 9z - 2 = 0\).
Для точки \(B_1(0; 0; 1)\) получаем \(\rho = \frac{|5 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 9 \cdot 1 - 2|}{\sqrt{5^2 + 8^2 + (-9)^2}} = \frac{11}{\sqrt{170}} = \frac{11\sqrt{170}}{170}\) (см).
Ответ: \(\frac{11\sqrt{170}}{170}\) см.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = 1\) см
\(M\) — точка ребра \(AA_1\), \(AM = \frac{1}{3}\) см
\(N\) — точка ребра \(BC\), \(BN = \frac{1}{4}\) см
\(O\) — середина отрезка \(DB_1\)
Найти: \(\rho\) — расстояние от точки \(B_1\) до плоскости \(MON\).
Решение: Рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(B\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\); единичный отрезок — 1 см.
Тогда \(D(1; 1; 0)\), \(B_1(0; 0; 1)\), \(M\left(1; 0; \frac{1}{3}\right)\), \(N\left(0; \frac{1}{4}; 0\right)\), а середина отрезка \(DB_1\) — точка \(O\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\).
Векторы \(\overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{ON}\) имеют координаты \(\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}\right)\) и \(\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}\right)\). Пусть \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали плоскости \(MON\). Он перпендикулярен прямым \(OM\) и \(ON\), лежащим в этой плоскости, поэтому \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{OM} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{ON} = 0\): \[\begin{cases} \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b - \frac{1}{6}c = 0, & | \cdot 6 \\ -\frac{1}{2}a - \frac{1}{4}b - \frac{1}{2}c = 0; & | \cdot (-4) \end{cases}\] \[\begin{cases} 3a - 3b - c = 0, \\ 2a + b + 2c = 0. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(b = -2a - 2c\); подставив это выражение в первое, получим \(3a + 6a + 6c - c = 0\), то есть \(9a = -5c\) и \(a = -\frac{5}{9}c\); тогда \(b = \frac{10}{9}c - 2c = -\frac{8}{9}c\). Координаты вектора нормали имеют вид \(\vec{n}\left(-\frac{5}{9}c; -\frac{8}{9}c; c\right)\). Тогда вектор с координатами \((5; 8; -9)\) коллинеарен вектору нормали плоскости \(MON\), а значит, сам является её вектором нормали, и уравнение плоскости имеет вид \(5x + 8y - 9z + d = 0\). Подставив координаты точки \(N\), получим \(5 \cdot 0 + 8 \cdot \frac{1}{4} - 9 \cdot 0 + d = 0\), откуда \(d = -2\). Значит, плоскость \(MON\) задаётся уравнением \(5x + 8y - 9z - 2 = 0\).
По формуле расстояния от точки до плоскости для точки \(B_1(0; 0; 1)\) получаем \(\rho = \frac{|5 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 9 \cdot 1 - 2|}{\sqrt{5^2 + 8^2 + (-9)^2}} = \frac{11}{\sqrt{170}} = \frac{11\sqrt{170}}{170}\) (см).
Ответ: \(\frac{11\sqrt{170}}{170}\) см.
