Страница 59 номер 6.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AD = 3\) см
\(AB = 6\) см
\(AA_1 = 12\) см
\(M\) — точка отрезка \(CA_1\), \(CM : MA_1 = 1 : 2\)
плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(M\), \(\alpha \perp CA_1\)
\(K\) — точка пересечения плоскости \(\alpha\) и прямой \(AA_1\)

Найти: \(AK\).

Решение: Рёбра \(AD\), \(AB\) и \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(A\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(AD\), \(AB\) и \(AA_1\); единичный отрезок — 1 см.

Тогда \(C(3; 6; 0)\) и \(A_1(0; 0; 12)\). Точка \(M\) делит отрезок \(CA_1\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\), поэтому \(M\left(\frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{3}; \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot 0}{3}; \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{3}\right)\), то есть \(M(2; 4; 4)\).

Прямая \(CA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), поэтому ненулевой вектор \(\overrightarrow{CA_1}(-3; -6; 12)\) — вектор нормали плоскости \(\alpha\). Вектор \(\vec{n}(1; 2; -4)\) коллинеарен ему (\(\overrightarrow{CA_1} = -3\vec{n}\)), а значит, тоже является вектором нормали плоскости \(\alpha\). Уравнение плоскости с вектором нормали \(\vec{n}(1; 2; -4)\), проходящей через точку \(M(2; 4; 4)\): \[\begin{aligned} 1 \cdot (x - 2) + 2(y - 4) - 4(z - 4) &= 0; \\ x + 2y - 4z + 6 &= 0. \end{aligned}\]

Прямая \(AA_1\) — ось \(z\), поэтому точка \(K\) имеет координаты \((0; 0; z)\). Она лежит в плоскости \(\alpha\): \[\begin{aligned} 0 + 2 \cdot 0 - 4z + 6 &= 0; \\ 4z &= 6; \qquad | : 4 \\ z &= \frac{3}{2}. \end{aligned}\]

Значит, \(K\left(0; 0; \frac{3}{2}\right)\) и \(AK = \frac{3}{2}\) см.

Ответ: \(\frac{3}{2}\) см.