Страница 87 номер 8.23, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) — правильная призма
цилиндр вписан в призму
\(MM_1\), \(KK_1\) — образующие, по которым цилиндр касается граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\)
\(d\) — диагональ осевого сечения цилиндра
\(\alpha\) — угол между этой диагональю и плоскостью основания

Найти: \(S_{MM_1K_1K}\).

Решение: Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, поэтому окружности его оснований вписаны в правильные шестиугольники \(ABCDEF\) и \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\). Грань \(AA_1B_1B\) касается цилиндра по образующей \(MM_1\), где \(M\) и \(M_1\) — точки касания сторон \(AB\) и \(A_1B_1\) с окружностями оснований; так же \(K\) и \(K_1\) — точки касания сторон \(BC\) и \(B_1C_1\). Пусть \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота.

Все осевые сечения цилиндра — равные прямоугольники со сторонами \(2r\) и \(h\), поэтому рассмотрим осевое сечение \(KK_1N_1N\), проходящее через образующую \(KK_1\): \(KN\) — диаметр нижнего основания, \(KN_1 = d\). Образующая \(NN_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(KN\) — проекция диагонали \(KN_1\) на эту плоскость и угол \(N_1KN\) — угол между диагональю и плоскостью основания: \(\angle N_1KN = \alpha\). Из прямоугольного треугольника \(KNN_1\) (\(\angle KNN_1 = 90^\circ\)): \(KN = d\cos\alpha\), \(NN_1 = d\sin\alpha\). Значит,

\[\begin{aligned} r &= \frac{KN}{2} = \frac{d\cos\alpha}{2}; \\ h &= NN_1 = d\sin\alpha. \end{aligned}\]

Пусть \(O\) — центр нижнего основания цилиндра. Радиусы \(OM\) и \(OK\), проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам \(AB\) и \(BC\). В четырёхугольнике \(OMBK\) углы \(M\) и \(K\) прямые, а угол \(B\) правильного шестиугольника равен \(120^\circ\), поэтому \(\angle MOK = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Треугольник \(MOK\) равнобедренный (\(OM = OK = r\)) с углом \(60^\circ\) между боковыми сторонами, значит, он равносторонний и \(MK = r\).

Образующие \(MM_1\) и \(KK_1\) параллельны, равны и перпендикулярны плоскости основания, поэтому сечение цилиндра плоскостью, проходящей через эти две образующие, — прямоугольник \(MM_1K_1K\) со сторонами \(MK = r\) и \(MM_1 = h\):

\[S_{MM_1K_1K} = MK \cdot MM_1 = \frac{d\cos\alpha}{2} \cdot d\sin\alpha = \frac{1}{4}d^2\sin 2\alpha.\]

Ответ: \(\frac{1}{4}d^2\sin 2\alpha\).