Страница 58 номер 6.10, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Векторы нормали данных плоскостей — \(\vec{n}_1(2; -1; 1)\) и \(\vec{n}_2(1; 2; -3)\); обозначим \(\varphi = \angle(\vec{n}_1, \vec{n}_2)\). Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям, то есть равен \(\varphi\), если \(\varphi \leqslant 90^\circ\), и \(180^\circ - \varphi\), если \(\varphi > 90^\circ\). По формуле косинуса угла между ненулевыми векторами \[\begin{aligned} &\cos \varphi = \frac{2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = {} \\ &= \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = -\frac{3}{2\sqrt{21}} = -\frac{\sqrt{21}}{14}. \end{aligned}\] Косинус отрицателен, поэтому угол \(\varphi\) тупой и угол между плоскостями равен \(180^\circ - \varphi\). Его косинус \(\cos(180^\circ - \varphi) = -\cos \varphi = \frac{\sqrt{21}}{14}\), значит, угол между плоскостями равен \(\arccos \frac{\sqrt{21}}{14}\).

Ответ: \(\arccos \frac{\sqrt{21}}{14}\).