Страница 58 номер 6.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Составьте уравнение плоскости, если точка \(A(4; 3; -6)\) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную плоскость.
Отрезок \(OA\) — перпендикуляр, опущенный из начала координат \(O\) на искомую плоскость, и его основание \(A(4; 3; -6)\) лежит в этой плоскости. Точка \(A\) отлична от точки \(O\), а прямая \(OA\) перпендикулярна плоскости, поэтому ненулевой вектор \(\overrightarrow{OA}(4; 3; -6)\) перпендикулярен плоскости, то есть является её вектором нормали. Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{OA}\), проходящей через точку \(A\): \[\begin{aligned} 4(x - 4) + 3(y - 3) - 6(z + 6) &= 0; \\ 4x + 3y - 6z - 61 &= 0. \end{aligned}\]
Ответ: \(4x + 3y - 6z - 61 = 0\).
Составьте уравнение плоскости, если точка \(A(4; 3; -6)\) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную плоскость.
Отрезок \(OA\) — перпендикуляр, опущенный из начала координат \(O\) на искомую плоскость, и его основание \(A(4; 3; -6)\) лежит в этой плоскости. Точка \(A\) отлична от точки \(O\), а прямая \(OA\) перпендикулярна плоскости, поэтому ненулевой вектор \(\overrightarrow{OA}(4; 3; -6)\) перпендикулярен плоскости, то есть является её вектором нормали. Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{OA}(4; 3; -6)\), проходящей через точку \(A(4; 3; -6)\): \[\begin{aligned} 4(x - 4) + 3(y - 3) - 6(z + 6) &= 0; \\ 4x + 3y - 6z - 61 &= 0. \end{aligned}\]
Ответ: \(4x + 3y - 6z - 61 = 0\).
