Страница 58 номер 6.1, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку \(A(3; -1; 2)\) и перпендикулярной прямой \(BC\), если: 1) \(B(2; 0; -3)\), \(C(4; -1; -5)\); 2) \(B(6; -7; -2)\), \(C(9; -5; 1)\).
Точки \(B\) и \(C\) различны, и прямая \(BC\) перпендикулярна искомой плоскости, поэтому ненулевой вектор \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярен этой плоскости, то есть является её вектором нормали.
1) Вектор \(\overrightarrow{BC}\) имеет координаты \((4 - 2; -1 - 0; -5 + 3)\), то есть \((2; -1; -2)\). Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{BC}\), проходящей через точку \(A\): \[\begin{aligned} 2(x - 3) - (y + 1) - 2(z - 2) &= 0; \\ 2x - y - 2z - 3 &= 0. \end{aligned}\]
2) Вектор \(\overrightarrow{BC}\) имеет координаты \((9 - 6; -5 + 7; 1 + 2)\), то есть \((3; 2; 3)\). Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{BC}\), проходящей через точку \(A\): \[\begin{aligned} 3(x - 3) + 2(y + 1) + 3(z - 2) &= 0; \\ 3x + 2y + 3z - 13 &= 0. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2x - y - 2z - 3 = 0\); 2) \(3x + 2y + 3z - 13 = 0\).
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку \(A(3; -1; 2)\) и перпендикулярной прямой \(BC\), если: 1) \(B(2; 0; -3)\), \(C(4; -1; -5)\); 2) \(B(6; -7; -2)\), \(C(9; -5; 1)\).
Точки \(B\) и \(C\) различны, и прямая \(BC\) перпендикулярна искомой плоскости, поэтому ненулевой вектор \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярен этой плоскости, то есть является её вектором нормали.
1) Вектор \(\overrightarrow{BC}\) имеет координаты \((4 - 2; -1 - 0; -5 + 3)\), то есть \((2; -1; -2)\). Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{BC}(2; -1; -2)\), проходящей через точку \(A(3; -1; 2)\): \[\begin{aligned} 2(x - 3) - (y + 1) - 2(z - 2) &= 0; \\ 2x - y - 2z - 3 &= 0. \end{aligned}\]
2) Вектор \(\overrightarrow{BC}\) имеет координаты \((9 - 6; -5 + 7; 1 + 2)\), то есть \((3; 2; 3)\). Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{BC}(3; 2; 3)\), проходящей через точку \(A(3; -1; 2)\): \[\begin{aligned} 3(x - 3) + 2(y + 1) + 3(z - 2) &= 0; \\ 3x + 2y + 3z - 13 &= 0. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(2x - y - 2z - 3 = 0\); 2) \(3x + 2y + 3z - 13 = 0\).
