Страница 58 номер 6.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Абсциссы точек \(M(3; a; -5)\) и \(K(7; 1; a)\) различны, поэтому при любом \(a\) это разные точки и прямая \(MK\) определена. Вектор \(\overrightarrow{MK}\) имеет координаты \((4; 1 - a; a + 5)\). Точка \(X(x; y; z)\) лежит на прямой \(MK\) тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{MX} = t\overrightarrow{MK}\) для некоторого числа \(t\), то есть \[\begin{cases} x = 3 + 4t, \\ y = a + (1 - a)t, \\ z = -5 + (a + 5)t. \end{cases}\] Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Точка прямой \(MK\) лежит в плоскости \(4x - 3y + z - 6 = 0\) тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению плоскости: \[\begin{aligned} 4(3 + 4t) - 3(a + (1 - a)t) + (-5 + (a + 5)t) - 6 &= 0; \\ (4a + 18)t + 1 - 3a &= 0. \end{aligned}\] Прямая \(MK\) параллельна плоскости тогда и только тогда, когда это уравнение относительно \(t\) не имеет решений. Если \(4a + 18 \ne 0\), то у него есть решение \(t = \frac{3a - 1}{4a + 18}\), и прямая пересекает плоскость. Если \(4a + 18 = 0\), то есть \(a = -4{,}5\), то уравнение принимает вид \(0 \cdot t + 14{,}5 = 0\), так как \(1 - 3 \cdot (-4{,}5) = 14{,}5\), и решений не имеет. Значит, прямая \(MK\) параллельна плоскости только при \(a = -4{,}5\).

Ответ: прямая \(MK\) параллельна плоскости при \(a = -4{,}5\).