Страница 52 номер 5.55, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника соответственно равны 6 см и 8 см. Найдите площадь данного четырёхугольника.
Дано:
\(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник
\(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)
\(KM = LN\)
\(AC = 6\) см
\(BD = 8\) см
Найти: \(S_{ABCD}\) — площадь четырёхугольника.
Решение: Отрезок \(KL\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(KL \parallel AC\) и \(KL = \frac{1}{2}AC = 3\) см; отрезок \(NM\) — средняя линия треугольника \(ADC\), поэтому \(NM \parallel AC\) и \(NM = 3\) см. Точно так же \(LM\) и \(KN\) — средние линии треугольников \(BCD\) и \(BAD\): \(LM \parallel BD\), \(KN \parallel BD\) и \(LM = KN = \frac{1}{2}BD = 4\) см. Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, поэтому прямые \(AC\) и \(BD\) не параллельны, а значит, не параллельны и стороны \(KL\) и \(LM\). Следовательно, \(KLMN\) — параллелограмм (его противолежащие стороны попарно параллельны), а отрезки \(KM\) и \(LN\) — его диагонали.
Диагонали параллелограмма \(KLMN\) равны (\(KM = LN\)), поэтому \(KLMN\) — прямоугольник и \(KL \perp LM\). Но \(KL \parallel AC\) и \(LM \parallel BD\), поэтому \(AC \perp BD\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали перпендикулярны и делят четырёхугольник на прямоугольные треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\). Поэтому \[\begin{aligned} &S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO) = {} \\ &= \frac{1}{2}(AO + CO)(BO + DO) = \frac{1}{2}AC \cdot BD. \end{aligned}\]
Значит, \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) (см\(^2\)).
Ответ: \(S_{ABCD} = 24\) см\(^2\).
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника соответственно равны 6 см и 8 см. Найдите площадь данного четырёхугольника.
Дано:
\(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник
\(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)
\(KM = LN\)
\(AC = 6\) см
\(BD = 8\) см
Найти: \(S_{ABCD}\) — площадь четырёхугольника.
Решение: Отрезок \(KL\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(KL \parallel AC\) и \(KL = \frac{1}{2}AC = 3\) см; отрезок \(NM\) — средняя линия треугольника \(ADC\), поэтому \(NM \parallel AC\) и \(NM = 3\) см. Точно так же \(LM\) и \(KN\) — средние линии треугольников \(BCD\) и \(BAD\): \(LM \parallel BD\), \(KN \parallel BD\) и \(LM = KN = \frac{1}{2}BD = 4\) см. Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, поэтому прямые \(AC\) и \(BD\) не параллельны, а значит, не параллельны и стороны \(KL\) и \(LM\). Следовательно, \(KLMN\) — параллелограмм (его противолежащие стороны попарно параллельны), а отрезки \(KM\) и \(LN\) — его диагонали.
Диагонали параллелограмма \(KLMN\) равны (\(KM = LN\)), поэтому \(KLMN\) — прямоугольник и \(KL \perp LM\). Но \(KL \parallel AC\) и \(LM \parallel BD\), поэтому \(AC \perp BD\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали перпендикулярны и делят четырёхугольник на прямоугольные треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\); площадь каждого из них равна половине произведения катетов. Поэтому \[\begin{aligned} &S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO) = {} \\ &= \frac{1}{2}(AO + CO)(BO + DO) = \frac{1}{2}AC \cdot BD. \end{aligned}\]
Значит, \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) (см\(^2\)).
Ответ: \(S_{ABCD} = 24\) см\(^2\).
