Вопросы после параграфа §6 на страницах 57-58, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Уравнением фигуры \(F\), заданной в координатном пространстве \(xyz\), называют уравнение с тремя переменными \(x\), \(y\), \(z\), обладающее следующими свойствами: 1) если точка принадлежит фигуре \(F\), то её координаты \((x; y; z)\) являются решением данного уравнения; 2) любое решение \((x; y; z)\) данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре \(F\). Например, уравнение \(z = 0\) — уравнение координатной плоскости \(xy\): аппликата каждой точки этой плоскости равна нулю, и каждая точка с нулевой аппликатой лежит в плоскости \(xy\).

Ответ: уравнением фигуры \(F\), заданной в координатном пространстве \(xyz\), называют уравнение с тремя переменными \(x\), \(y\), \(z\), обладающее следующими свойствами: 1) если точка принадлежит фигуре \(F\), то её координаты \((x; y; z)\) являются решением данного уравнения; 2) любое решение \((x; y; z)\) данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре \(F\).

Говорят, что ненулевой вектор \(\overrightarrow{AB}\) перпендикулярен прямой \(a\) (плоскости \(\alpha\)), если прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(a\) (плоскости \(\alpha\)). Пишут: \(\overrightarrow{AB} \perp a\), \(\overrightarrow{AB} \perp \alpha\). Речь идёт только о ненулевом векторе: у нулевого вектора начало и конец совпадают, и прямой \(AB\) нет.

Ответ: ненулевой вектор \(\overrightarrow{AB}\) называют перпендикулярным прямой \(a\), если прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(a\), и перпендикулярным плоскости \(\alpha\), если прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).

Вектор, перпендикулярный плоскости, называют вектором нормали к этой плоскости. Перпендикулярным плоскости бывает только ненулевой вектор, поэтому вектор нормали ненулевой. Плоскость имеет бесконечно много векторов нормали: любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору нормали, сам является вектором нормали этой плоскости. Например, векторы \(\vec{i}(1; 0; 0)\), \(\vec{j}(0; 1; 0)\) и \(\vec{k}(0; 0; 1)\) являются векторами нормали координатных плоскостей соответственно \(yz\), \(xz\) и \(xy\).

Ответ: вектор, перпендикулярный плоскости, называют вектором нормали к этой плоскости.

Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{AB}(a; b; c)\), проходящей через точку \(M(x_0; y_0; z_0)\), имеет вид: \[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.\] Действительно, если точка \(N(x; y; z)\) плоскости отлична от \(M\), то ненулевые векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{MN}(x - x_0; y - y_0; z - z_0)\) перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение, равное левой части уравнения, равно нулю; координаты самой точки \(M\) уравнению тоже удовлетворяют. Обратно, каждое решение этого уравнения является координатами точки плоскости. Раскрыв скобки и обозначив \(-ax_0 - by_0 - cz_0 = d\), получим уравнение вида \(ax + by + cz + d = 0\).

Ответ: уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{AB}(a; b; c)\), проходящей через точку \(M(x_0; y_0; z_0)\), имеет вид \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\).

Уравнение любой плоскости имеет вид \(ax + by + cz + d = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) не равны нулю одновременно. Если плоскость проходит через начало координат, то координаты точки \(O(0; 0; 0)\) удовлетворяют её уравнению: \(a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0\), откуда \(d = 0\), то есть уравнение имеет вид \(ax + by + cz = 0\). Справедливо и обратное утверждение: любое уравнение вида \(ax + by + cz = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) не равны нулю одновременно, является уравнением некоторой плоскости, проходящей через начало координат. Например, координатные плоскости \(yz\), \(xz\) и \(xy\) задаются уравнениями \(x = 0\), \(y = 0\) и \(z = 0\).

Ответ: уравнение плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид \(ax + by + cz = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) не равны нулю одновременно.