Страница 52 номер 5.53, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Плоские углы \(AOB\), \(BOC\) и \(COA\) трёхгранного угла \(OABC\) соответственно равны \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\). Докажите, что \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geqslant -\frac{3}{2}\).
Отложим от вершины \(O\) на рёбрах \(OA\), \(OB\) и \(OC\) трёхгранного угла единичные векторы \(\vec{e}_1\), \(\vec{e}_2\) и \(\vec{e}_3\), сонаправленные соответственно с векторами \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\). Угол между векторами \(\vec{e}_1\) и \(\vec{e}_2\) равен углу \(AOB\), то есть \(\alpha\); аналогично \(\angle(\vec{e}_2, \vec{e}_3) = \beta\) и \(\angle(\vec{e}_1, \vec{e}_3) = \gamma\). Поэтому \[\begin{aligned} \vec{e}_1^2 &= \vec{e}_2^2 = \vec{e}_3^2 = 1; \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 &= 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha = \cos \alpha; \\ \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 &= 1 \cdot 1 \cdot \cos \beta = \cos \beta; \\ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 &= 1 \cdot 1 \cdot \cos \gamma = \cos \gamma. \end{aligned}\]
Скалярный квадрат любого вектора равен квадрату его модуля и поэтому неотрицателен. Значит, \[\begin{aligned} &0 \leqslant (\vec{e}_1 + \vec{e}_2 + \vec{e}_3)^2 = \vec{e}_1^2 + \vec{e}_2^2 + \vec{e}_3^2 + {} \\ &+ 2\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 + 2\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 + 2\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = {} \\ &= 3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma). \end{aligned}\]
Из неравенства \(3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geqslant 0\) получаем \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geqslant -\frac{3}{2}\).
Ответ: для плоских углов \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) трёхгранного угла выполняется неравенство \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geqslant -\frac{3}{2}\).
