Страница 52 номер 5.52, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AB \perp CD\)
\(AB = CD = 3\) см
\(M\) и \(N\) лежат на ребре \(AB\)
\(P\) и \(K\) лежат на ребре \(CD\)
\(AM = NB = CP = KD = 1\) см
\(E\) — середина \(MP\)
\(F\) — середина \(NK\)

Найти: \(EF\).

Решение: Точки \(M\) и \(N\) лежат на ребре \(AB\) длиной 3 см, \(AM = 1\) см и \(NB = 1\) см, поэтому они расположены в порядке \(A\), \(M\), \(N\), \(B\) и \(MN = 3 - 1 - 1 = 1\) (см). Значит, вектор \(\overrightarrow{MN}\) сонаправлен с вектором \(\overrightarrow{AB}\), а его модуль в 3 раза меньше: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). Точно так же \(\overrightarrow{PK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\).

По правилу треугольника, применённому дважды, \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NF}\) и \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{PK} + \overrightarrow{KF}\). Сложим эти равенства. Точка \(E\) — середина отрезка \(MP\), поэтому \(\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{EP} = \vec{0}\); точка \(F\) — середина отрезка \(NK\), поэтому \(\overrightarrow{NF} + \overrightarrow{KF} = \vec{0}\). Получаем \(2\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PK}\), откуда \[\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PK}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\right) = \frac{1}{6}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}).\]

Рёбра \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны, поэтому угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равен \(90^\circ\) и \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\). Тогда \[\overrightarrow{EF}^2 = \frac{1}{36}\left(\overrightarrow{AB}^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD}^2\right) = \frac{1}{36}(9 + 0 + 9) = \frac{1}{2}.\]

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, поэтому \(EF = |\overrightarrow{EF}| = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (см).

Ответ: \(EF = \frac{\sqrt{2}}{2}\) см.