Страница 51 номер 5.51, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Боковое ребро и ребро основания правильной четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) соответственно равны \(2a\) и \(a\). Найдите угол и расстояние между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная четырёхугольная призма
\(AB = a\)
\(AA_1 = 2a\)
Найти: угол и расстояние между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\).
Решение: Призма правильная, поэтому её основание — квадрат \(ABCD\), а боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. В качестве базиса \((\vec{m}; \vec{n}; \vec{p})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DD_1})\). Эти векторы попарно перпендикулярны, \(\vec{m}^2 = \vec{n}^2 = a^2\), \(\vec{p}^2 = 4a^2\).
Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1} = \vec{p}\). Тогда \(\overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{m} + \vec{p}\) и \(\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1} = -\vec{n} + \vec{p}\).
Векторы базиса попарно перпендикулярны, поэтому \[\begin{aligned} \overrightarrow{DA_1} \cdot \overrightarrow{CD_1} &= (\vec{m} + \vec{p}) \cdot (-\vec{n} + \vec{p}) = \vec{p}^2 = 4a^2; \\ \overrightarrow{DA_1}^2 &= \vec{m}^2 + \vec{p}^2 = 5a^2; \\ \overrightarrow{CD_1}^2 &= \vec{n}^2 + \vec{p}^2 = 5a^2. \end{aligned}\]
Отсюда \(|\overrightarrow{DA_1}| = |\overrightarrow{CD_1}| = a\sqrt{5}\). Если \(\varphi\) — угол между векторами \(\overrightarrow{DA_1}\) и \(\overrightarrow{CD_1}\), то \(\cos \varphi = \frac{4a^2}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{4}{5}\). Косинус положителен, поэтому угол \(\varphi\) острый и угол между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\) равен \(\varphi = \arccos \frac{4}{5}\).
Прямые \(DA_1\) и \(CD_1\) скрещиваются: прямая \(CD_1\) лежит в плоскости грани \(CC_1D_1D\), а прямая \(DA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(D\), не лежащей на прямой \(CD_1\). Пусть отрезок \(KE\) — общий перпендикуляр прямых \(DA_1\) и \(CD_1\), точка \(K\) лежит на прямой \(DA_1\), а точка \(E\) — на прямой \(CD_1\). Тогда \(\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DK}\). Вектор \(\overrightarrow{EC}\) коллинеарен ненулевому вектору \(\overrightarrow{CD_1}\), а вектор \(\overrightarrow{DK}\) — ненулевому вектору \(\overrightarrow{DA_1}\), поэтому существуют такие числа \(x\) и \(y\), что \(\overrightarrow{EC} = x\overrightarrow{CD_1}\) и \(\overrightarrow{DK} = y\overrightarrow{DA_1}\). Получаем: \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} = x(-\vec{n} + \vec{p}) - \vec{n} + y(\vec{m} + \vec{p}) = {} \\ &= y\vec{m} - (x + 1)\vec{n} + (x + y)\vec{p}. \end{aligned}\]
Вектор \(\overrightarrow{EK}\) перпендикулярен векторам \(\overrightarrow{DA_1}\) и \(\overrightarrow{CD_1}\), поэтому \(\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{CD_1} = 0\). Векторы базиса попарно перпендикулярны, поэтому \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{DA_1} = y\vec{m}^2 + (x + y)\vec{p}^2 = {} \\ &= ya^2 + 4(x + y)a^2 = (4x + 5y)a^2. \end{aligned}\]
Аналогично \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{CD_1} = (x + 1)\vec{n}^2 + (x + y)\vec{p}^2 = {} \\ &= (x + 1)a^2 + 4(x + y)a^2 = (5x + 4y + 1)a^2. \end{aligned}\]
Оба произведения равны нулю, а число \(a\) отлично от нуля, поэтому \[\begin{cases} 4x + 5y = 0, \\ 5x + 4y + 1 = 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = -\frac{5y}{4}\); подставив это выражение во второе уравнение, получим \(-\frac{25y}{4} + 4y + 1 = 0\), откуда \(y = \frac{4}{9}\) и \(x = -\frac{5}{9}\). Значит, \(\overrightarrow{CE} = \frac{5}{9}\overrightarrow{CD_1}\) и \(\overrightarrow{DK} = \frac{4}{9}\overrightarrow{DA_1}\): точки \(E\) и \(K\) лежат на отрезках \(CD_1\) и \(DA_1\).
Тогда \(\overrightarrow{EK} = \frac{4}{9}\vec{m} - \frac{4}{9}\vec{n} - \frac{1}{9}\vec{p}\) и \(\overrightarrow{EK}^2 = \frac{16}{81}a^2 + \frac{16}{81}a^2 + \frac{1}{81} \cdot 4a^2 = \frac{36}{81}a^2 = \frac{4a^2}{9}\), откуда \(|\overrightarrow{EK}| = \frac{2a}{3}\). Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, поэтому расстояние между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\) равно \(KE = \frac{2a}{3}\).
Ответ: угол между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\) равен \(\arccos \frac{4}{5}\), расстояние между ними равно \(\frac{2a}{3}\).
Боковое ребро и ребро основания правильной четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) соответственно равны \(2a\) и \(a\). Найдите угол и расстояние между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная четырёхугольная призма
\(AB = a\)
\(AA_1 = 2a\)
Найти: угол и расстояние между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\).
Решение: Призма правильная, поэтому её основание — квадрат \(ABCD\), а боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. В качестве базиса \((\vec{m}; \vec{n}; \vec{p})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DD_1})\). Эти векторы попарно перпендикулярны, \(\vec{m}^2 = \vec{n}^2 = a^2\), \(\vec{p}^2 = 4a^2\).
Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{DD_1} = \vec{p}\). Тогда \(\overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{m} + \vec{p}\) и \(\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1} = -\vec{n} + \vec{p}\).
Найдём угол между прямыми. Векторы базиса попарно перпендикулярны, поэтому \[\begin{aligned} \overrightarrow{DA_1} \cdot \overrightarrow{CD_1} &= (\vec{m} + \vec{p}) \cdot (-\vec{n} + \vec{p}) = \vec{p}^2 = 4a^2; \\ \overrightarrow{DA_1}^2 &= \vec{m}^2 + \vec{p}^2 = 5a^2; \\ \overrightarrow{CD_1}^2 &= \vec{n}^2 + \vec{p}^2 = 5a^2. \end{aligned}\]
Отсюда \(|\overrightarrow{DA_1}| = |\overrightarrow{CD_1}| = a\sqrt{5}\). Если \(\varphi\) — угол между векторами \(\overrightarrow{DA_1}\) и \(\overrightarrow{CD_1}\), то \(\cos \varphi = \frac{4a^2}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{4}{5}\). Косинус положителен, поэтому угол \(\varphi\) острый и угол между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\) равен \(\varphi = \arccos \frac{4}{5}\).
Найдём расстояние между прямыми. Прямые \(DA_1\) и \(CD_1\) скрещиваются: прямая \(CD_1\) лежит в плоскости грани \(CC_1D_1D\), а прямая \(DA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(D\), не лежащей на прямой \(CD_1\). Пусть отрезок \(KE\) — общий перпендикуляр прямых \(DA_1\) и \(CD_1\), точка \(K\) лежит на прямой \(DA_1\), а точка \(E\) — на прямой \(CD_1\). Тогда \(\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DK}\). Вектор \(\overrightarrow{EC}\) коллинеарен ненулевому вектору \(\overrightarrow{CD_1}\), а вектор \(\overrightarrow{DK}\) — ненулевому вектору \(\overrightarrow{DA_1}\), поэтому существуют такие числа \(x\) и \(y\), что \(\overrightarrow{EC} = x\overrightarrow{CD_1}\) и \(\overrightarrow{DK} = y\overrightarrow{DA_1}\). Получаем: \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} = x(-\vec{n} + \vec{p}) - \vec{n} + y(\vec{m} + \vec{p}) = {} \\ &= y\vec{m} - (x + 1)\vec{n} + (x + y)\vec{p}. \end{aligned}\]
Вектор \(\overrightarrow{EK}\) перпендикулярен векторам \(\overrightarrow{DA_1}\) и \(\overrightarrow{CD_1}\), поэтому \(\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{CD_1} = 0\). Векторы базиса попарно перпендикулярны, поэтому \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{DA_1} = y\vec{m}^2 + (x + y)\vec{p}^2 = {} \\ &= ya^2 + 4(x + y)a^2 = (4x + 5y)a^2. \end{aligned}\]
Аналогично \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{CD_1} = (x + 1)\vec{n}^2 + (x + y)\vec{p}^2 = {} \\ &= (x + 1)a^2 + 4(x + y)a^2 = (5x + 4y + 1)a^2. \end{aligned}\]
Оба произведения равны нулю, а число \(a\) отлично от нуля, поэтому \[\begin{cases} 4x + 5y = 0, \\ 5x + 4y + 1 = 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = -\frac{5y}{4}\); подставив это выражение во второе уравнение, получим \(-\frac{25y}{4} + 4y + 1 = 0\), откуда \(y = \frac{4}{9}\) и \(x = -\frac{5}{9}\). Значит, \(\overrightarrow{CE} = \frac{5}{9}\overrightarrow{CD_1}\) и \(\overrightarrow{DK} = \frac{4}{9}\overrightarrow{DA_1}\): точки \(E\) и \(K\) лежат на отрезках \(CD_1\) и \(DA_1\).
Тогда \(\overrightarrow{EK} = \frac{4}{9}\vec{m} - \frac{4}{9}\vec{n} - \frac{1}{9}\vec{p}\) и \(\overrightarrow{EK}^2 = \frac{16}{81}a^2 + \frac{16}{81}a^2 + \frac{1}{81} \cdot 4a^2 = \frac{36}{81}a^2 = \frac{4a^2}{9}\), откуда \(|\overrightarrow{EK}| = \frac{2a}{3}\). Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, поэтому расстояние между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\) равно \(KE = \frac{2a}{3}\).
Ответ: угол между прямыми \(DA_1\) и \(CD_1\) равен \(\arccos \frac{4}{5}\), расстояние между ними равно \(\frac{2a}{3}\).
