Страница 51 номер 5.50, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(ABC\) — равносторонний треугольник
ребро \(DC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\)
\(M\) — середина \(BC\)
\(N\) — середина \(AB\)
\(AB = 4\) см
\(DC = \sqrt{2}\) см

Найти: угол и расстояние между прямыми \(DM\) и \(CN\).

Решение: В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{CA}; \overrightarrow{CB}; \overrightarrow{CD})\). Треугольник \(ABC\) равносторонний, поэтому \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 4\) и \(\angle ACB = 60^\circ\); ребро \(DC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), а значит, и прямым \(CA\) и \(CB\). Получаем: \(\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = 16\), \(\vec{c}^2 = 2\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 8\), \(\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\).

Точки \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(BC\) и \(AB\), поэтому \(\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\vec{b}\) и \(\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\). Тогда \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}\).

Найдём угол между прямыми. Учитывая, что \(\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\), получаем: \[\begin{aligned} \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CN} &= \left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) = \frac{1}{4}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4}\vec{b}^2 = 2 + 4 = 6; \\ \overrightarrow{DM}^2 &= \frac{1}{4}\vec{b}^2 + \vec{c}^2 = 4 + 2 = 6; \\ \overrightarrow{CN}^2 &= \frac{1}{4}\left(\vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2\right) = \frac{1}{4}(16 + 16 + 16) = 12. \end{aligned}\]

Отсюда \(|\overrightarrow{DM}| = \sqrt{6}\), \(|\overrightarrow{CN}| = 2\sqrt{3}\). Если \(\varphi\) — угол между векторами \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{CN}\), то \(\cos \varphi = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\varphi = 45^\circ\). Угол \(\varphi\) острый, поэтому угол между прямыми \(DM\) и \(CN\) равен \(45^\circ\).

Найдём расстояние между прямыми. Прямые \(DM\) и \(CN\) скрещиваются: прямая \(CN\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(DM\) пересекает эту плоскость в точке \(M\), которая не лежит на прямой \(CN\) (прямая \(CN\) пересекает прямую \(BC\) только в точке \(C\)). Пусть отрезок \(KE\) — общий перпендикуляр прямых \(CN\) и \(DM\), точка \(K\) лежит на прямой \(CN\), а точка \(E\) — на прямой \(DM\). Тогда \(\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CK}\). Вектор \(\overrightarrow{ED}\) коллинеарен ненулевому вектору \(\overrightarrow{DM}\), а вектор \(\overrightarrow{CK}\) — ненулевому вектору \(\overrightarrow{CN}\), поэтому существуют такие числа \(x\) и \(y\), что \(\overrightarrow{ED} = x\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{CK} = y\overrightarrow{CN}\). Получаем: \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} = x\left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}\right) - \vec{c} + y\left(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) = {} \\ &= \frac{y}{2}\vec{a} + \frac{x + y}{2}\vec{b} - (x + 1)\vec{c}. \end{aligned}\]

Вектор \(\overrightarrow{EK}\) перпендикулярен векторам \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{CN}\), поэтому \(\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{CN} = 0\). Раскроем скобки, учитывая, что \(\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\): \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{DM} = \frac{y}{4}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{x + y}{4}\vec{b}^2 + (x + 1)\vec{c}^2 = {} \\ &= 2y + 4(x + y) + 2(x + 1) = 6x + 6y + 2. \end{aligned}\]

Аналогично \[\begin{aligned} &\overrightarrow{EK} \cdot \overrightarrow{CN} = \frac{y}{4}\vec{a}^2 + \frac{x + 2y}{4}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{x + y}{4}\vec{b}^2 = {} \\ &= 4y + 2(x + 2y) + 4(x + y) = 6x + 12y. \end{aligned}\]

Получаем систему уравнений: \[\begin{cases} 6x + 6y + 2 = 0, \\ 6x + 12y = 0. \end{cases}\]

Вычтя из второго уравнения первое, получим \(6y - 2 = 0\), откуда \(y = \frac{1}{3}\) и \(x = -2y = -\frac{2}{3}\). Значит, \(\overrightarrow{DE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{CK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CN}\): точки \(E\) и \(K\) лежат на отрезках \(DM\) и \(CN\).

Тогда \(\overrightarrow{EK} = \frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}\) и \[\overrightarrow{EK}^2 = \frac{1}{36}\vec{a}^2 + \frac{1}{36}\vec{b}^2 + \frac{1}{9}\vec{c}^2 - \frac{1}{18}\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{16}{36} + \frac{16}{36} + \frac{2}{9} - \frac{8}{18} = \frac{2}{3}.\]

Отсюда \(|\overrightarrow{EK}| = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\) (см). Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, поэтому расстояние между прямыми \(DM\) и \(CN\) равно \(KE = \frac{\sqrt{6}}{3}\) см.

Ответ: угол между прямыми \(DM\) и \(CN\) равен \(45^\circ\), расстояние между ними равно \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) см.