Страница 49 номер 5.15, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
При каких значениях \(p\) векторы \(\vec{a}(p; -2; 1)\) и \(\vec{b}(p; 1; -p)\) перпендикулярны?
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ненулевые при любом значении \(p\): вторая координата вектора \(\vec{a}\) равна \(-2\), а вектора \(\vec{b}\) — 1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = p \cdot p + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-p) = p^2 - p - 2.\] Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \[\begin{aligned} p^2 - p - 2 &= 0; \\ D &= 1 + 8 = 9; \\ p_{1,2} &= \frac{1 \pm 3}{2}; \\ p_1 &= -1, \quad p_2 = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(p = -1\) или \(p = 2\).
При каких значениях \(p\) векторы \(\vec{a}(p; -2; 1)\) и \(\vec{b}(p; 1; -p)\) перпендикулярны?
Векторы \(\vec{a}(p; -2; 1)\) и \(\vec{b}(p; 1; -p)\) ненулевые при любом значении \(p\): вторая координата вектора \(\vec{a}\) равна \(-2\), а вектора \(\vec{b}\) — 1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. По формуле скалярного произведения векторов, заданных координатами, \[\vec{a} \cdot \vec{b} = p \cdot p + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-p) = p^2 - p - 2.\] Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \[\begin{aligned} p^2 - p - 2 &= 0; \\ D &= 1 + 8 = 9; \\ p_{1,2} &= \frac{1 \pm 3}{2}; \\ p_1 &= -1, \quad p_2 = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(p = -1\) или \(p = 2\).
